Implícita en la primera declaración es la de la existencia de las integrales.
Mientras x↦f(x,y) es integrable para cada uno de ellos fijo y, entonces es suficiente para fy ser continua en [0,1]2 a justificar la diferenciación bajo el signo integral.
Con
F(y)=∫10f(x,y)dx
y y0∈[0,1],y≠y0,
|F(y)−F(y0)y−y0−∫10fy(x,y0)dx|=|∫10(f(x,y)−f(x,y0)y−y0−fy(x,y0))dx|.
Aplicando el valor medio teorema existe ξ (que puede depender de x) entre y y0 tal que
|F(y)−F(y0)y−y0−∫10fy(x,y0)dx|=|∫10(fy(x,ξ)−fy(x,y0))dx|⩽
Por el uniforme de la continuidad de la f_y en el conjunto compacto [0,1]^2 existe para cualquier \epsilon > 0 \delta > 0 tal que |y - y_0| < \delta implica |f_y(x, \xi) - f_y(x, y_0)| < \epsilon y
\left|\frac{F(y) - F(y_0)}{y - y_0} - \int_0^1 f_y(x,y_0) \, dx\right| < \epsilon,
demostrando que F'(y_o) = \int_0^1 f_y(x,y_0) \, dx.
No hay ningún contraejemplo que usted busca.
De hecho, el interruptor es válido en virtud de mucho más débil condiciones. Teniendo en cuenta la integral de Lebesgue, por ejemplo, si x \mapsto f(x,y) es medible para cada una de las y e integrable para al menos uno de los y,f_y(x,y_0) existe y existe una función integrable g tal que para x , y \in [0,1] y \neq y_0
\left|\frac{f(x,y) - f(x,y_0)}{y - y_0}\right| \leqslant g(x)
Tal vez, un ejemplo sencillo podría transmitir alguna intuición de por qué la continuidad de f sí no es necesaria.
Tomar
f(x,y) = \begin{cases} 1 + y, \,\,\, 0 \leqslant x \leqslant 1/2, \, 0 \leqslant y \leqslant 1 \\ 2 + y, \,\,\, 1/2 < x \leqslant 1, \, 0 \leqslant y \leqslant 1\end{cases}
A continuación,f_y(x,y) = 1,
F(y) = \int_0^1 f(x,y) \, dx = \frac{3}{2} + y,
y
F'(y) = 1 = \int_0^1 f_y(x,y) \, dx