Intercambio de derivados y Integral ejemplo

Question

En clase el otro día, mi profesor se expresa de la siguiente teorema:

Supongamos $\frac{d}{dy}f(x,y)$ es continua en a$[0,1] \times [0,1]$,$\frac{d}{dy} \int^1_0 f(x,y) \, dx = \int_0^1 \frac{d}{dy}f(x,y) \, dx$.

Luego rápidamente corregir este leer:

Supongamos $\frac{d}{dy}f(x,y)$ y f son continuas en a$[0,1] \times [0,1]$, $$\frac{d}{dy} \int^1_0 f(x,y) \, dx = \int_0^1 \frac{d}{dy}f(x,y) \, dx.$$

Me preguntaba si alguien podría proporcionar un ejemplo de $f$ que satisface las condiciones para la primera declaración escrita, pero no añadió posteriormente la continuidad de la condición de la segunda declaración, y por tanto no la total implicación de la primera instrucción.

Answer 1

Sea $\mathbb{Q}$ el conjunto de números racionales. Definir $f:[0,1]^2 \to \mathbb{R}$ por

$$f(x,y) = \chi_{\mathbb{Q}}(x)= \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q}\cap[0,1] \\ 0 & x \in [0,1] \setminus \mathbb{Q} \end{cases},$ $, es decir, es de $f(x,y)$ $1$ si $x$ es racional y $0$ si $x$ es irracional.

Entonces $\frac{\partial f}{\partial y} \equiv 0$ y por lo tanto es continua (es constante con respecto a los $f$ $y$). Como tal, %#% $ #%

Sin embargo, la integral del término en

$$\int_0^1 \frac{\partial f}{\partial y} ~\mathrm{d} x =0.$$

aún no está definido. Bueno, al menos para el Riemann Integral $$\frac{d}{dy} \int_0^1 f(x,y)~\mathrm{d}x$

Answer 2

Implícita en la primera declaración es la de la existencia de las integrales.

Mientras $x \mapsto f(x,y)$ es integrable para cada uno de ellos fijo $y$, entonces es suficiente para $f_y$ ser continua en $[0,1]^2$ a justificar la diferenciación bajo el signo integral.

Con

$$F(y) = \int_0^1 f(x,y) \, dx$$

y $y_0 \in [0,1]$,$y \neq y_0$,

$$\left|\frac{F(y) - F(y_0)}{y - y_0} - \int_0^1 f_y(x,y_0) \, dx\right| = \left|\int_0^1 \left(\frac{f(x,y)- f(x,y_0)}{y - y_0} - f_y(x,y_0) \right) \, dx\right|.$$

Aplicando el valor medio teorema existe $\xi$ (que puede depender de $x$) entre $y$ $y_0$ tal que

$$\left|\frac{F(y) - F(y_0)}{y - y_0} - \int_0^1 f_y(x,y_0) \, dx\right| = \left|\int_0^1 \left(f_y(x, \xi) - f_y(x,y_0) \right) \, dx\right| \\ \leqslant \int_0^1 \left|f_y(x, \xi) - f_y(x,y_0) \right| \, dx.$$

Por el uniforme de la continuidad de la $f_y$ en el conjunto compacto $[0,1]^2$ existe para cualquier $\epsilon > 0$ $\delta > 0$ tal que $|y - y_0| < \delta $ implica $|f_y(x, \xi) - f_y(x, y_0)| < \epsilon$ y

$$\left|\frac{F(y) - F(y_0)}{y - y_0} - \int_0^1 f_y(x,y_0) \, dx\right| < \epsilon,$$

demostrando que $F'(y_o) = \int_0^1 f_y(x,y_0) \, dx.$

No hay ningún contraejemplo que usted busca.

De hecho, el interruptor es válido en virtud de mucho más débil condiciones. Teniendo en cuenta la integral de Lebesgue, por ejemplo, si $x \mapsto f(x,y)$ es medible para cada una de las $y$ e integrable para al menos uno de los $y$,$f_y(x,y_0)$ existe y existe una función integrable $g$ tal que para $x , y \in [0,1]$ $y \neq y_0$

$$\left|\frac{f(x,y) - f(x,y_0)}{y - y_0}\right| \leqslant g(x)$$

Tal vez, un ejemplo sencillo podría transmitir alguna intuición de por qué la continuidad de $f$ sí no es necesaria.

Tomar

$$f(x,y) = \begin{cases} 1 + y, \,\,\, 0 \leqslant x \leqslant 1/2, \, 0 \leqslant y \leqslant 1 \\ 2 + y, \,\,\, 1/2 < x \leqslant 1, \, 0 \leqslant y \leqslant 1\end{cases}$$

A continuación,$f_y(x,y) = 1$,

$$F(y) = \int_0^1 f(x,y) \, dx = \frac{3}{2} + y,$$

y

$$F'(y) = 1 = \int_0^1 f_y(x,y) \, dx$$