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Intercambio de derivados y Integral ejemplo

En clase el otro día, mi profesor se expresa de la siguiente teorema:

Supongamos ddyf(x,y) es continua en a[0,1]×[0,1],ddy10f(x,y)dx=10ddyf(x,y)dx.

Luego rápidamente corregir este leer:

Supongamos ddyf(x,y) y f son continuas en a[0,1]×[0,1], ddy10f(x,y)dx=10ddyf(x,y)dx.

Me preguntaba si alguien podría proporcionar un ejemplo de f que satisface las condiciones para la primera declaración escrita, pero no añadió posteriormente la continuidad de la condición de la segunda declaración, y por tanto no la total implicación de la primera instrucción.

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erfink Puntos 737

Sea Q el conjunto de números racionales. Definir f:[0,1]2R por

$$f(x,y) = \chi_{\mathbb{Q}}(x)= {1xQ[0,1]0x[0,1]Q,, es decir, es de f(x,y) 1 si x es racional y 0 si x es irracional.

Entonces fy0 y por lo tanto es continua (es constante con respecto a los f y). Como tal, %#% $ #%

Sin embargo, la integral del término en

10fy dx=0.

aún no está definido. Bueno, al menos para el Riemann Integral $$\frac{d}{dy} \int_0^1 f(x,y)~\mathrm{d}x$

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RRL Puntos 11430

Implícita en la primera declaración es la de la existencia de las integrales.

Mientras xf(x,y) es integrable para cada uno de ellos fijo y, entonces es suficiente para fy ser continua en [0,1]2 a justificar la diferenciación bajo el signo integral.

Con

F(y)=10f(x,y)dx

y y0[0,1],yy0,

|F(y)F(y0)yy010fy(x,y0)dx|=|10(f(x,y)f(x,y0)yy0fy(x,y0))dx|.

Aplicando el valor medio teorema existe ξ (que puede depender de x) entre y y0 tal que

|F(y)F(y0)yy010fy(x,y0)dx|=|10(fy(x,ξ)fy(x,y0))dx|

Por el uniforme de la continuidad de la f_y en el conjunto compacto [0,1]^2 existe para cualquier \epsilon > 0 \delta > 0 tal que |y - y_0| < \delta implica |f_y(x, \xi) - f_y(x, y_0)| < \epsilon y

\left|\frac{F(y) - F(y_0)}{y - y_0} - \int_0^1 f_y(x,y_0) \, dx\right| < \epsilon,

demostrando que F'(y_o) = \int_0^1 f_y(x,y_0) \, dx.

No hay ningún contraejemplo que usted busca.

De hecho, el interruptor es válido en virtud de mucho más débil condiciones. Teniendo en cuenta la integral de Lebesgue, por ejemplo, si x \mapsto f(x,y) es medible para cada una de las y e integrable para al menos uno de los y,f_y(x,y_0) existe y existe una función integrable g tal que para x , y \in [0,1] y \neq y_0

\left|\frac{f(x,y) - f(x,y_0)}{y - y_0}\right| \leqslant g(x)

Tal vez, un ejemplo sencillo podría transmitir alguna intuición de por qué la continuidad de f sí no es necesaria.

Tomar

f(x,y) = \begin{cases} 1 + y, \,\,\, 0 \leqslant x \leqslant 1/2, \, 0 \leqslant y \leqslant 1 \\ 2 + y, \,\,\, 1/2 < x \leqslant 1, \, 0 \leqslant y \leqslant 1\end{cases}

A continuación,f_y(x,y) = 1,

F(y) = \int_0^1 f(x,y) \, dx = \frac{3}{2} + y,

y

F'(y) = 1 = \int_0^1 f_y(x,y) \, dx

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