Ingenuamente, calcular el factorial

Question

Una forma ingenua para calcular el factorial es $n! \geq (a+1) (a+2) \dots n \geq a^{n-a}$ para cualquier $a$. Por ejemplo, da $n! \geq (n/2)^{n/2}$ y % un poco mejor $n! \geq (n/3)^{2n/3}$. Me interesa en qué tan fuerte esta estimación ingenua puede ser. ¿Que $a$ obtener la mejor estimación?

Si mis cálculos son correctos, esto sucede cuando $a = \frac{n}{W(e n)}$ $W$ Dónde está Lambert w el. ¿La expresión $\left(\frac{n}{W(e n)}\right)^{n-\frac{n}{W(e n)}}$ simplificado o razonablemente estimada por funciones elementales?

Answer 1

Usando la aproximación de Stirling tenemos $n! \approx (\frac ne)^n$. Si tomamos su $a$ a una fracción fija de $n$, decir $\frac nb$, su % de da $(\frac nb)^{n(1-\frac 1b)}$. Stirling, dividido por el tuyo entonces es $ \dfrac {(\frac ne)^n}{(\frac nb)^{n(1-\frac 1b)}}=\dfrac {b^{n(1-\frac 1b)}}{n^{\frac nb}}\lt \left(\dfrac b{n^\frac 1b}\right)^n$ a cero con gran $n$ para cualquier $b$, rápidamente cuando $n \gt b^b$

Answer 2

Sólo trataré de reproducir su cálculo. Estamos tratando de maximizar $f(a):=a^{n-a}$$a\in[0,n-1]$. La derivada es $$f'(a)=a^{n-a}[-\ln(a)+\frac{n-a}{a}].$$

Nos igualamos a cero

$$\ln(a)=\frac{n-a}{a}=\frac{n}{a}-1,$$

es decir, $$\ln(ea)=\frac{n}{a}.$$

Tomando exponencial $ea=e^{n/a}$, es decir,$\frac{n}{a}e^{\frac{n}{a}}=en$. A partir de esta $n/a=W(en)$$a=n/W(en)$. No significa mucho por que tengo el mismo.

Ahora, para calcular la expresión que implique $W$ se puede utilizar expansiones asintóticas de $W$.

Tenemos que $$\left(\frac{W(z)}{z}\right)^r=\sum_{n=0}^\infty \frac{r(k+r)^{k-1}}{k!}\ (-z)^k.$$

Pongamos esto en $H(n):=e^{(n-n/W(en))\ln(n/W(en))}$$r=-1$.

No, este no es buena. Que tiene de $|z|<e^{-1}$. Necesitamos asymptotics hasta el infinito. Aquí tienen algunos (Ecuación 4.20). Entonces esos son los que tenemos que poner en la fórmula para $H$.