Supongamos que$f$ es una función medible soportada de forma compacta (digamos en el intervalo$[-1,1]$) que es Hölder continuo de orden$\alpha\in (0,1)$. He leído que la transformación de Hilbert$Hf$ de$f$ también es Hölder continua del orden$\alpha$, pero que el resultado no es verdadero en el punto final$\alpha=1$. ¿Hay un contraejemplo obvio? Estoy luchando por encontrar uno y agradecería algunas sugerencias.
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Cualquier "rincón", como $|x|$ multiplicado por un suave corte. La transformada de Hilbert desplazamientos con la toma de la distribución de derivados (ambos son operadores de multiplicación en la transformada de Fourier lado). Por lo tanto, si usted puede encontrar un $L^\infty$ función cuya transformada de Hilbert no es en $L^\infty$, entonces su antiderivada da el deseado de Lipschitz ejemplo.
Específicamente: la transformada de Hilbert de signum función logarítmica de la singularidad en $0$, que puede ser visto ya sea directamente a partir de la integral de la fórmula, o por la observación de que $\operatorname{Re}\log z$ $\operatorname{Im}\log z$ son conjugado armónico de las funciones en la mitad superior del plano -. Por lo tanto, la transformada de Hilbert de una función que se comporta como $|x|$ cerca de $0$ se comporta como $\int \log |x|\,dx$ cerca de $0$, es decir, $x\log |x|$.
