Momentum es un vector cotangente?

Question

Imaginemos que tenemos una partícula descrita por $x \in M$ donde $M$ es algo de variedad diferenciable, entonces es muy intuitiva creo que la velocidad es un elemento del espacio de la tangente en $x$, lo $x' \in T_{x}M.$, con Lo que, por definición de la tangente paquete, tenemos $(x,x') \in TM$.

Ahora, en la mecánica clásica nos enteramos de que el conjugado de mometum $p(x,x') = \partial_2L(x,x')$ y ahora he leído que este tipo es un elemento de la cotangente del espacio, pero no tengo idea de por qué.

Me refiero a estar en el espacio cotangente, usted necesita tomar los elementos en el espacio de la tangente de $x$ cuales son las velocidades como argumentos y sólo dependen linealmente de ellos. Aunque es claro que p toma velocidades como los argumentos que está bien, no está claro para mí en este momento por qué esto debería suceder de forma lineal. Es este un adicional (física) de entrada en este punto o es que hay un argumento matemático por qué el impulso ahora es lineal en el mapa?

Answer 1

I) Descargo de responsabilidad: En esta respuesta la vamos a utilizar el (tradicional) del físico definición de los tensores, el uso de índices y sus propiedades de transformación de bajo transformaciones de coordenadas. Por otra parte, nos vamos a suprimir la dependencia del tiempo $t$ por la simplicidad.

II) que el colector $Q$ ser el espacio de configuración. El Lagrangiano $L:TQ\to \mathbb{R}$ transforma como un escalar

$$L~~\longrightarrow~~ L^{\prime}~=~L, \tag{1}$$

la velocidad de $v^i$ transforma como un vector

$$v^i~~\longrightarrow~~ v^{\prime j}~=~\frac{\partial q^{\prime j}}{\partial q^i}v^i,\tag{2}$$

el Lagrangiano canónica impulso

$$p_i~:=~ \frac{\partial L}{\partial v^i}\tag{3}$$

transforma como un covector

$$p_i~~\longrightarrow~~ p^{\prime}_j~=~\frac{\partial q^i}{\partial q^{\prime j}}p_i,\tag{4}$$

en general a transformaciones de coordenadas

$$ q^i~\longrightarrow ~q^{\prime j}~=~ f^j(q)\tag{5}$$

en el espacio de configuración $Q$. Eq. (4) se sigue de la regla de la cadena.

III) UN punto en que la tangente paquete es de la forma

$$(q,v)~\in~TQ,\qquad v~=~v^i \frac{\partial}{\partial q^i}.\tag{6} $$

Tenga en cuenta que la velocidad de la $v$ es independiente de la variable, que se transforma como un vector (2) en general a transformaciones de coordenadas (5) en el espacio de configuración $Q$.

IV) El Lagrangiano canónica de impulso (3) puede verse como una sección

$$TQ ~\ni~ (q,v) ~\stackrel{p}{\mapsto} ~(q,v; p_i\mathrm{d}q^i)~\in~T^{\ast}TQ \tag{7}$$

en el paquete de $T^{\ast}TQ \to TQ$.

V) Finalmente, para la integridad y la comparación de mencionar el Hamiltoniano canónica de impulso (también denotado $p$) en el caso de que el espacio de fase $M$ es la cotangente bundle $M=T^{\ast}Q$. En el caso de $M=T^{\ast}Q$, el Hamiltoniano canónica impulso $p$ es independiente de la variable, que se transforma como un covector (4) en general a transformaciones de coordenadas (5) en el espacio de configuración $Q$. Un punto en que la tangente paquete es de la forma

$$(q,p)~\in~T^{\ast}Q,\qquad p~=~p_i\mathrm{d}q^i.\tag{8} $$

Answer 2

El impulso es un covector porque es un degradado, y los gradientes son siempre covariante. Hace lo que dice en la lata. Sin embargo, tienes razón en que este es un punto sutil y no es particularmente claro en la primera vista.

Para un lagrangiano de la forma $L=T-V$ $V$ independiente de $\dot q$, el canónico, el impulso está dado por $$ p=\frac{\partial L}{\parcial \dot q}=\frac{\partial T}{\parcial \dot q}. $$ Este derivado se mide la cantidad de $T$ cambios con respecto a los pequeños cambios en la $\dot q$, cuando estos cambios son lo suficientemente pequeños que una aproximación lineal a $T$ es suficiente. Esta es exactamente la linealidad de la $p$ funcionales como de $\dot q$.

Esto significa que $p$ es un funcional sobre incrementos en $\dot q$ más que un funcional sobre $\dot q$ sí. Este es, por supuesto, correcto: si usted tiene un espacio de configuración de $Q$, luego lagrangiana de la mecánica se lleva a cabo en $M=TQ$, que es el espacio de todas las configuraciones $q$ y las velocidades correspondientes a $\dot q$. Hamiltoniana de la mecánica, por otro lado, se lleva a cabo en $T^*M$ - el espacio lineal de las formas más $TM$. Tenga en cuenta que $TM=TTQ$ es, precisamente, el espacio de incrementos en la velocidad (junto con las velocidades a sí mismos como incrementos en la posición).