La involución antípoda de$\mathbb{S}^2$ claramente no tiene puntos fijos. Sin embargo, no puedo pensar en un ejemplo de homeomorfismo de orden 4 que no tenga puntos fijos. ¿Usted me podría ayudar?
Respuestas
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Elija cualquier involución sin identidad$i$ de$\Bbb{RP}^2$. Tiene dos ascensores a un mapa$S^2 \to S^2$; elige el que tiene el mapa antípodo. Debido a que el mapa antípoda no tiene puntos fijos y es orden 2, su levantamiento no debe tener puntos fijos y debe ser orden 4.
Tenga en cuenta que necesariamente la involución$i$ de la planta baja debe tener puntos fijos; no hay superficie con grupo fundamental de orden 4.
Antonio Alfieri
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Usted puede construir un auto-diffeomorphism $T$ $S^2$ sin punto fijo y el orden $2n$ como sigue.
Creo $S^2$ tiene la unidad de una esfera en la $\mathbb{R}^3$. Denotar por $R$ la rotación de ángulo de $\theta=\pi/n$ sobre el $z$-eje y por $S$ la reflexión acerca de la $xy$-plano. Observe que $T=S \circ R$ no tiene ningún punto fijo (ya que los intercambios el norte y el sur de los hemisferios de $S^2$ y actúa como una rotación en la zona ecuatorial $S^1 \subset S^2$) y que $$ T^{2n}= (S \circ R)^{2n} = (S^2)^n \circ R^{2n}= id .$$ De hecho, es fácil comprobar que $T$ tiene exactamente el fin de $2n$.
Per Hornshøj-Schierbeck
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Considere la transformación lineal de$\Bbb{R}^3$ correspondiente a $$ A = \ left (\begin{array}{ccc}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end {array} \ right). $$ La transformación es ortogonal, por lo tanto, conserva las longitudes, por lo tanto, se asigna$S^2$ a sí mismo. Es claramente de orden cuatro. Los valores propios de$A$ son$i,-i,-1$, por lo que no tiene puntos fijos.
Esto está en el conjunto de homeomorfismos descritos por Antonio: una rotación de 90 grados seguida de una reflexión.
