¿Cómo se puede demostrar que la definición de límite y la definición de serie de $e$ son equivalentes, ¿cómo modelan el crecimiento continuo?

Question

La definición de límite de $e$ da la mejor intuición sobre cómo $e$ puede modelar el crecimiento continuo.

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac1n\right)^n$$

Sea n la representación de n momentos de crecimiento que escalan el valor inicial en $ 1 + \frac1n $ .

La clave para mí parece ser que el $\Delta x $ se acerca a 1 pero no lo alcanza. Esto permite la mejor aproximación $\Delta x = 1 $ en cada momento. En otras palabras, en cada momento de crecimiento el valor x experimenta $\Delta x = 1 + \frac1n $ o como $n \to \infty$ ... $$\lim\limits_{n \to \infty} 1 + \frac1n = 1 $$

Crecimiento con n = 2 momentos:

$1 \times 1\frac12 \times 1\frac12 $ = 2.25

intuición: Si se producen 2 momentos de crecimiento a x donde $\Delta x = 1\frac12$ Esto equivale a un crecimiento discreto de $\Delta x = 1\frac12$ dos veces.

Crecimiento con tres momentos:

$1\times 1\frac13 \times 1\frac13 \times 1\frac13 $ = 2.35

intuición: Si se producen 3 momentos de crecimiento a x en donde $\Delta x = 1\frac13$ Esto equivale a un crecimiento discreto de $\Delta x = 1\frac13$ tres veces.

Crecimiento en siete momentos:

$1\times \frac17 \times 1\frac17 \times 1\frac17 \times 1\frac17 \times 1\frac17 \times 1\frac17 \times 1\frac17 $ = 2.55

intuición: Si se producen 7 momentos de crecimiento a x en este periodo donde $\Delta x = 1\frac17$ Esto equivale a un crecimiento discreto de $\Delta x = 1\frac17$ siete veces.

$\lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac1n\right)^n $ es una definición de $e$ ya que modela n momentos de crecimiento que ocurren donde en cada instante el valor inicial es escalado por un factor $\lim\limits_{n \to \infty} 1 + \frac1n = 1 $ .

A mí me parece intuitivo hasta cierto punto. Si queremos crecer de forma continua, escalamos por un incremento infinitamente pequeño un número infinito de veces y esto converge en el número $e$ . El por qué debe converger es misterioso para mí, y además de ver una prueba no puedo intuir a algo que sea satisfactorio.

Ahora también existe la representación en serie de Taylor de $e$

$$ \sum_{i=0}^n \frac1{n!} = 1 + 1 + \frac12 + \frac1{3\times2\times1} + \frac1{4\times3\times2\times1} ... $$

Hablando en términos generales parece que se $e$ se puede sumar un todo y sí mismo, con $ \frac12$ ese conjunto, y $ \frac13$ de $ \frac12$ de ese conjunto y así sucesivamente... y no tengo ninguna intuición para esto.

De nuevo, la serie de Taylor converge a $e$ pero no veo la misma intuición de cómo esto puede modelar el crecimiento continuo. Además, con mis limitados conocimientos matemáticos no sabría demostrarlo:

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac1n\right)^n = \sum_{i=0}^n \frac1{n!}$$

Mis 3 preguntas a las que quiero dar respuesta son

1. Por qué aplicación o intuición se puede ver que $ \sum_{i=0}^n \frac1{n!} $ ¿modelos de crecimiento continuo?

2. Cuáles son algunas pruebas de que:

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac1n\right)^n = \sum_{i=0}^n \frac1{n!}$$

3. ¿Está el número de Euler inextricablemente ligado al tiempo como $\pi$ es al círculo?

Cuando se habla de $e$ parece necesario hablar de períodos de crecimiento continuo $ p = kt $ siendo representado por $ e = e^p $ donde $ p = 1 $ en el caso fundamental. No sé cómo pensar en $e$ sin verlo como un periodo de crecimiento continuo demostrado $e$ por la convergencia de la definición intuitiva que di . No veo este mismo vínculo inextricable con un período en la serie de Taylor ni en otras definiciones de $e$ .

Gracias por cualquier comentario, he estado tratando de envolver mi cabeza alrededor de $e$ en el nivel más fundamental durante mucho tiempo para poder entender más profundamente las ecuaciones diferenciales.

¿Cómo se ha llegado a la conclusión de que el mejor modelo de crecimiento continuo es el e? ¿Fue una observación experimental o fue una prueba que convenció a los matemáticos y científicos de que $e$ encarna la idea del crecimiento continuo, es decir, el crecimiento en todas las instancias?

Tengo muchas preguntas sobre la Serie Taylor y $e^{i\theta}$ Estoy tratando de responder también ..

Los mejores deseos,

Answer 1

A continuación se aborda su segunda pregunta.

---

Sin añadir ningún detalle adicional sobre $e$ y $\log$ aquí está la prueba de la identidad $$\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}\right)$$ Supongo que eres consciente de que los dos límites anteriores existen (es fácil establecerlo observando que las dos secuencias implicadas aquí son crecientes y acotadas por encima).

Dejemos que $$a_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}, b_{n} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}$$ y también considerar otra secuencia relacionada $$c_{n} = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{-n}$$ Está claro que tenemos \begin {align} \lim_ {n \to \infty }c_{n} &= \lim_ {n \to \infty } \left (1 - \frac {1}{n} \right )^{-n} \notag\\ &= \lim_ {n \to \infty } \left ( \frac {n}{n - 1} \right )^{n} \notag\\ &= \lim_ {n \to \infty } \left (1 + \frac {1}{n - 1} \right )^{n - 1} \cdot\frac {n}{n - 1} \notag\\ &= \lim_ {n \to \infty } \left (1 + \frac {1}{n - 1} \right )^{n - 1} \notag\\ &= \lim_ {n \to \infty }a_{n} \text { (sustituyendo }n - 1 \text { por } n) \notag \end {align} Usando el teorema del binomio podemos ver que \begin {align} a_{n} &= \left (1 + \frac {1}{n} \right )^{n} \notag\\ &= 1 + 1 + \frac {n(n - 1)}{2!} \cdot\frac {1}{n^{2}} + \cdots\notag\\ &= 1 + 1 + \dfrac {1 - \dfrac {1}{n}}{2!} + \dfrac { \left (1 - \dfrac {1}{n} \right ) \left (1 - \dfrac {2}{n} \right )}{3!} + \cdots\notag\\ & \leq 1 + 1 + \frac {1}{2!} + \frac {1}{3!} + \cdots + \frac {1}{n!} \notag\\ &= b_{n} \notag \end {align} Del mismo modo, si $n > 1$ entonces podemos utilizar el teorema del binomio para el índice general para obtener \begin {align} c_{n} &= \left (1 - \frac {1}{n} \right )^{-n} \notag\\ &= 1 + 1 + \frac {n(n + 1)}{2!} \cdot\frac {1}{n^{2}} + \cdots\notag\\ &= 1 + 1 + \dfrac {1 + \dfrac {1}{n}}{2!} + \dfrac { \left (1 + \dfrac {1}{n} \right ) \left (1 + \dfrac {2}{n} \right )}{3!} + \cdots\notag\\ & \geq 1 + 1 + \frac {1}{2!} + \frac {1}{3!} + \cdots + \frac {1}{n!} \notag\\ &= b_{n} \notag \end {align} Por lo tanto, se deduce que si $n > 1$ entonces tenemos $$a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$$ Ambas secuencias $a_{n}, c_{n}$ tienden al mismo límite por lo que aplicando el teorema de Squeeze se deduce que $b_{n}$ también tiende al mismo límite y nuestro trabajo está hecho. La misma técnica puede utilizarse para demostrar el resultado más general de que $$\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} = \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 0}^{n}\frac{x^{i}}{i!}$$ para todos los números reales $x$ .

Answer 2

Hay algunas suposiciones que hay que hacer al respecto $e$ se presenta. Mi planteamiento es que se sabe que la derivada de $y=\ln x$ es igual a $y=1/x$ . Ahora, utilizando la definición de límite de la derivada, tenemos :

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)-\ln1}{x}=1$$ El $1$ en el lado derecho es la derivada de $\ln x$ en la que sustituimos $1$ . Desde $\ln1=0$ podemos hacer un poco de álgebra: Traer el $x$ en el denominador por adelantado como $\frac{1}{x}$ que luego se puede poner como exponente por las leyes de los logaritmos:

$$\lim\limits_{x \to 0} \ln(x+1)^\frac{1}{x}=1$$

Elevación de ambas partes al poder $e$ nos encontramos con que: $$\lim\limits_{x \to 0} (x+1)^\frac{1}{x}=e$$ Cuando se realiza una sustitución $x=1/n$ , usted obtiene su límite "conectado" a $e$ . Espero que esta aportación responda a algunas de sus preguntas. (esencialmente su parte introductoria)

Answer 3

Estás haciendo varias preguntas aquí, y las has hecho en un orden determinado. Pero me voy a tomar la libertad de responderlas en un orden más intuitivo.

En tu tercera pregunta, has preguntado si el número de Euler está inextricablemente ligado al tiempo. De hecho, no lo está. El número de Euler es intrínsecamente una constante matemática, no física. Aunque puede ser útil en relación con las funciones dependientes del tiempo, eso no significa necesariamente que esté fundamentalmente ligado a las funciones dependientes del tiempo como $\pi$ es a los círculos.

Verá, fundamentalmente el número $e$ se trata de $2$ cosas. El crecimiento exponencial y la tasa de cambio. Lo primero que hay que considerar es la derivada de cualquier exponencial. Empecemos por diferenciar una exponencial cualquiera $a^x$ .

$$\frac{d(a^x)}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h} - a^x}{h}$$

Como $a^{x+h} = a^x a^h$ ,

$$\frac{d(a^x)}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{a^x a^h - a^x}{h}$$

Factorización $a^x$ del numerador, y fuera del límite nos da

$$\frac{d(a^x)}{dx} = a^x \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}$$

A partir de esto, podemos ver intuitivamente que la derivada de cualquier exponencial va a ser directamente proporcional a la propia exponencial, ya que la derivada de $a^x$ es igual a $a^x$ por alguna constante. Se plantea entonces la pregunta: ¿existe una base para la que esta constante de proporcionalidad sea igual a $1$ ? ¿Existe una función tal que la función es su propia derivada?

La respuesta corta a esto es que sí. Y tenemos con nosotros los medios para encontrarla. Lo primero que hay que hacer es tomar $\lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}$ para ser nuestra constante de proporcionalidad. Pero también sabemos que nuestra constante de proporcionalidad debe ser $1$ . Por lo tanto, obtenemos

$$\lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = 1$$

multiplicando $\lim\limits_{h \to 0} h$ en ambos lados, obtenemos:

$$\lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} \lim_{h \to 0} h = \lim_{h \to 0} h$$

Recogiendo los límites del lado izquierdo nos da

$$\lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} h = \lim_{h \to 0} a^h - 1 = \lim_{h \to 0} h $$

trayendo la $1$ del lado izquierdo al lado derecho nos da

$$\lim_{h \to 0} a^h = \lim_{h \to 0} h + 1$$

Por lo tanto, si se modifica la expresión, se obtendrá

$$a = \lim_{h \to 0} (h + 1)^{\frac{1}{h}}$$

afirmemos ahora que $\frac{1}{h} = n$ . Esto equivale a afirmar $\frac{1}{n}=h$ . Cuando $n\to\infty$ , $h\to0$ . Por lo tanto, ahora podemos reescribir nuestro límite original como

$$a = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$$

De ahí viene la definición de límite del número de Euler. A partir de esto, podemos saber con certeza una propiedad fundamental (si no la definitoria) del número $e$ . Y lo que es más importante, nos ayuda a entender por qué el derivado de $e^x$ es $e^x$ . No es una coincidencia, es la definición misma de $e$ ¡! Si estás decidido a encontrar una conexión entre $e$ y alguna propiedad como $\pi$ es a los círculos, entonces aquí está: el santo grial. El número de Euler está fundamental e inextricablemente ligado a los problemas de tasa de cambio. Aunque esta es una idea que pareces haber captado intuitivamente, incluso antes de considerar el cálculo subyacente.

Preguntas $1$ y $2$ pueden ser respondidas simultáneamente. Demostrando que las definiciones de límite y serie de $e^x$ son equivalentes, podemos demostrar definitivamente que existe un vínculo entre la serie de Taylor y la exponenciación. La intuición vendrá de forma natural una vez que se vea cómo se pueden equiparar ambas directamente sin utilizar la función exponencial como intermedio explícito.

Esto es un poco más difícil de probar (o más bien, más difícil en mis pequeños y rechonchos dedos mientras hago mi mejor esfuerzo para trabajar en la LaTex)

Comencemos por considerar únicamente la expresión

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$ .

Podemos ampliar los paréntesis utilizando el teorema del binomio de la siguiente manera:

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=1}^n \frac{n!}{k!(n-k)!n^k}$$

Haciendo algunas simplificaciones obtenemos

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = 1 + \sum_{k=1}^n \frac{\prod\limits_{j=1}^{k-1} (n-j)}{k!n^{k-1}}$$

La simplificación es un término relativo. Sin embargo, luego se une, lo juro. Dado $x\in\mathbb N$ podemos afirmar que

$$n^x = \prod_{i=1}^x n$$

Por lo tanto, podemos utilizar esta información para afirmar que

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = 1 + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} \prod\limits_{j=1}^{k-1} \frac{(n-j)}{n}$$

Esto es igual a

$$1 + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k-1} \left(1 - \frac{j}{n}\right)$$

Por lo tanto, podemos afirmar que

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = 1 + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k-1} \left(1 - \frac{j}{n}\right)$$

Tomemos ahora el límite como $n\to\infty$ en ambos lados

$$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = 1 + \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k-1} \left(1 - \frac{j}{n}\right)$$

Desde $\frac{j}{n} \to 0$ cuando $n\to\infty$ el término del producto simplemente se convierte en el producto de un montón de $1$ s. Como resultado, independientemente de lo que $n$ o $k$ es, el producto completo se convierte en $1$ . Por lo tanto,

$$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = 1 + \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!}$$

Porque $0!=1$ , $\frac{1}{0!} = 1$ . Como resultado, podemos llevar la $1$ que está delante de la suma de nuevo en la suma. Por lo tanto,

$$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$$

QED.

Recomiendo que lo pruebes por ti mismo, intentando demostrar que esto es válido para todos $e^x$ . Aquí tienes una pista para empezar: $e^x = \lim\limits_{n \to 0} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$

Por último, pregunta al chico grande. La megapregunta. El verdadero pensador. ¿Qué es lo que $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$ ¿quieres decir?

Hay dos enfoques comunes para esto. En primer lugar, está el método que utiliza la serie de Taylor de $\sin(x)$ , $\cos(x)$ y $e^{ix}$ . Pero si soy totalmente honesto... no quiero pasar por el problema de hacer todo ese LaTex de nuevo. Por eso pasamos a la segunda forma: el teorema de Picard-Lindelöf.

Este teorema afirma que dado que hay $2$ funciones que satisfacen

1. La misma ecuación diferencial y
2. Las mismas condiciones iniciales

Las dos funciones serán iguales

Veamos la función $f(x) = e^{ix}$ . La derivada de esta función es $ie^{ix}$ . Por lo tanto, se trata de una solución de la ecuación diferencial $f(x) = if'(x)$ . Además, tomemos nota del hecho de que $f(0) = 1$ . Esto será importante más adelante.

A continuación, veamos la función $g(x) = \cos(x) + i\sin(x)$ . En este caso, $g'(x) = -\sin(x) + i\cos(x) = i(\cos(x) + i\sin(x))$ . Por lo tanto, $g'(x) = ig(x)$ . además, $g(0) = \cos(0) + i\sin(0) = 1 + 0i = 1$ .

Por lo tanto, sabemos que las dos funciones tienen los mismos valores iniciales. Sabemos que ambas son soluciones de la misma ecuación diferencial. En consecuencia, podemos afirmar (por Picard-Lindelöf) que $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$ . (Tenga en cuenta que esta no es mi prueba. Esto es algo que recuperé de este video (véase el segmento de Epic Math Time sobre la demostración de la fórmula de Euler). Si tienes tiempo, no dudes en intentar también el otro método. En realidad es bastante sencillo si lo haces a mano, dado que expandes todo en lugar de dejarlo en términos de notación sigma.

Pasemos ahora a la pregunta más apremiante: ¿qué significa esto?

Comencemos por abrir el plano complejo (tomar el $y$ sea el eje imaginario y el $x$ para que sea el eje real)

Dado que se tiene un número complejo $z = a + ib$ (donde $a$ y $b$ son ambos miembros de los números reales) $a$ será la parte real de $z$ y $b$ será la parte imaginaria de $z$ . Podemos trazar $z$ utilizando coordenadas rectangulares.

Dado $z = \cos(t) + i\sin(t)$ , $\cos(t)$ es la parte real de $z$ y $\sin(t)$ es la parte imaginaria de $z$ . Por lo tanto, podemos parametrizar las partes real e imaginaria de $z$ en términos de un parámetro arbitrario $t$ (que, como es habitual en el cálculo, se mide en radianes). Dibujando esto en la gráfica nos da lo siguiente;

Como podemos ver, esta imagen muestra un círculo unitario. Por lo tanto, el gráfico de las salidas de $\cos(x) + i\sin(x)$ forma un círculo unitario en el plano complejo. Pero ya hemos demostrado que $\cos(x) + i\sin(x) = e^{ix}$ . Por lo tanto, dado que tenemos un número real de entrada $x$ la salida de la función $e^{ix}$ será un círculo unitario en el plano imaginario. Acabo de pasar más de una hora sólo en la LaTex. Por favor, envíen ayuda. Paz.