Leí en Griffith Harris P132 que una variedad compleja de dimensión mayor que uno no puede tener divisores en absoluto. Quiero encontrar ejemplos. Hay un ejemplo? ¿Las variedades de Hopf$S^1\times S^{2n-1}$ tienen tales propiedades?
Respuestas
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Alex Holsgrove
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Para$n=2$, hay un grupo picard no trivial. Hay algunas referencias decentes sobre esta lista en la página wikipedia para superficies Hopf.
El ejemplo que usted desee, como se menciona en los comentarios es la de un Inoue superficie. Ya que no tienen curvas no pueden tener ningún divisores por definición. Por otro lado considerar la superficie de Hopf $S$ $(\mathbb{C}^2\backslash{0})/\sim$ donde $(x,y) \sim (2^nx,2^ny)$ todos los $n\in\mathbb{Z}$. A continuación, considere el mapa de $\varphi:S\to\mathbb{P}^{1}$$[(x,y)] \mapsto [x:y]$. Esto está bien definido ya que hemos trazado para proyectiva del espacio. A continuación, puede mostrar que la tire hacia atrás de un punto de $y\in\mathbb{P}^1$ le dará un divisor en $S$. En efecto, desde una $\varphi$ induce una elíptica fibration, sus divisores son sólo va a ser de las curvas elípticas. Además, uno puede mostrar que la retirada de puntos son todos los divisores y por lo tanto $Cl(S) \cong \mathbb{Z}$.
