¿Demostración de que la aproximación asintótica en el intervalo más la monotonicidad (decreciente) implica uniformidad?

Question

Estoy teniendo dificultades para verificar el siguiente teorema, y espero que alguien pueda echarme una mano.

Holmes, en su libro Introducción a los métodos de perturbación (segunda edición) estados:

"Teorema 1.4: Supongamos que $f(x,\epsilon)$ , $\phi(x,\epsilon)$ y $\phi_0(\epsilon)$ son continuos para $ a \leq x \leq b$ y $0 < \epsilon < \epsilon_1$ .

(a) Si $f \sim \phi$ para $a \leq x \leq b$ y si $|\phi(x,\epsilon)|$ es monótonamente decreciente en $\epsilon$ entonces esta aproximación asintótica es uniformemente válida para $a \leq x \leq b$ ."

la parte (b) no es relevante para esta pregunta

Cuando escribe $f\sim\phi$ , quiere decir implícitamente como $\epsilon \downarrow 0$ . Además, esto significa que (en cualquier $x_0 \in [a,b]$ ) dado un $\delta >0$ se puede encontrar un $\epsilon_0 > 0$ (depende genéricamente de $x_0$ ) tal que

$$ 0 < \epsilon < \epsilon_0 \Rightarrow \ |f(x_0,\epsilon) - \phi(x_0,\epsilon) | < \delta |\phi(x_0,\epsilon)|$$

La parte (a) del teorema dice que si $|\phi(x,\epsilon)|$ es monotónicamente decreciente con $\epsilon$ (para todos los $x \in [a,b]$ ), entonces se puede encontrar un $\epsilon_*$ independientemente de $x$ , tal que la desigualdad anterior se cumple siempre que $0<\epsilon<\epsilon_*$ (es decir, la aproximación asintótica es uniforme en $[a,b]$ ).

He intentado mostrar que $Min\{ \epsilon_0 \}_{x_0 \in [a,b]} > 0$ pero siguen teniendo dificultades para relacionar lo que ocurre en los diferentes puntos $x$ de forma útil. ¿Alguna idea?

Answer 1

Tome $x_1 , x_2 \in [a,b]$ , entonces dado $\delta>0$ sabes que existe $\epsilon_0(x)$ tal que \begin{eqnarray} |f(x_1,\epsilon) - \phi(x_1,\epsilon)| \leq \delta |\phi(x_1,\epsilon)| \quad \text{for} \quad 0 < \epsilon < \epsilon_0(x_1), \\ |f(x_2,\epsilon) - \phi(x_2,\epsilon)| \leq \delta |\phi(x_2,\epsilon)| \quad \text{for} \quad 0 < \epsilon < \epsilon_0(x_2). \end{eqnarray} Editado : Entiendo la monotonicidad de $\phi$ para ser lo siguiente: \begin{equation} \phi(x,\epsilon_1) \leq \phi(x,\epsilon_2) \quad\text{if}\quad \epsilon_1 < \epsilon_2, \end{equation} así que $\phi$ disminuye en función de $\epsilon$ como $\epsilon$ disminuye - lo que es más bien lo contrario de lo que "disminuye monótonamente en $\epsilon$ ' suele significar.

La monotonicidad de $\phi$ en $\epsilon$ puede utilizarse ahora de dos maneras: en primer lugar, para cada $x_i$ se puede estimar $|\phi(x_i,\epsilon)|$ por su valor en el punto más a la derecha del $\epsilon$ -intervalo: \begin{equation} |\phi(x_i,\epsilon)| \leq |\phi(x_i,\epsilon_0(x_i))|. \end{equation} En segundo lugar, sin pérdida de generalidad, se puede suponer que $\epsilon_0(x_2) > \epsilon_0(x_1)$ , de tal manera que $(0,\epsilon_0(x_1)) \subset (0,\epsilon_0(x_2))$ . Desde $\phi$ es monotónicamente decreciente en $\epsilon$ Por lo tanto, se puede estimar \begin{equation} |\phi(x_1,\epsilon_0(x_1))| \leq |\phi(x_1,\epsilon_0(x_2))|. \end{equation}

Editado : Por lo tanto, para encontrar un límite superior uniforme para el $\epsilon$ -intervalo, debe mirar \begin{equation} \min_{a\leq x \leq b} \epsilon_0(x). \end{equation}