Inversión de tiempo en electrodinámica clásica

Question

Se sabe que la electrodinámica clásica es la inversión de tiempo invariante si se supone que la transformación de las leyes en virtud de una operación de este tipo son $$\mathbf E(t,\mathbf x)\mapsto\mathbf E(-t,\mathbf x)$$ $$\mathbf B(t,\mathbf x)\mapsto -\mathbf B(-t,\mathbf x)$$ $$\rho(t,\mathbf x)\mapsto \rho(-t,\mathbf x)$$ $$\mathbf J(t,\mathbf x)\mapsto -\mathbf J(-t,\mathbf x)$$

¿Cómo son estas transformaciones relacionadas con la inversión de tiempo $T$ de la totalidad del grupo de Lorentz $O(1,3)$? Aquí me gustaría asumir la notación matricial para la simplicidad, por lo que $$T = \begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$ cual es el Jacobiano de la transformación de $(t,\mathbf x)\mapsto(-t,\mathbf x)$. Si usted piensa de la 4-actual como una 1-forma $J$ más de espacio-tiempo, y que usted asume esta transformación, es decir, inversión de tiempo, de ser pasivo, es decir, sólo un cambio de coordenadas, entonces $$(\rho,-\mathbf J)\mapsto(-\rho,-\mathbf J),$$ desde que uno realmente se deduce $\rho(t,\mathbf x)\mapsto-\rho(-t,\mathbf x)$$\mathbf J(t,\mathbf x)\mapsto\mathbf J(-t,\mathbf x)$. Uno tiene una situación similar al transformar el tensor electromagnético $F$$T$, que luego da $\mathbf E\mapsto -\mathbf E$$\mathbf B\mapsto\mathbf B$, pero por otro lado, el tensor constitutivo $\star F$ da a la espera de las leyes de transformación de los campos, a saber, los de arriba. Se trata simplemente de una mera coincidencia?

Answer 1

Aquí el problema se plantea porque el 4-corriente en el OP se supone que es una 1-forma, y después de muchos años de acumulación de óxido en el tema que me olvidé por completo de que este es, estrictamente hablando, no el derecho objeto geométrico que se puede describir de la densidad de corriente. En efecto, siendo la densidad, debe ser una 3-forma, y por lo tanto la correcta objeto geométrico es $$J = \rho\ \text dx\wedge\text dy\wedge\text dz + \text dt\wedge(\mathbf J\cdot\star\text d\mathbf x)$$ donde $\star\text d\mathbf x$ es el dual de Hodge en $\mathbb R^3$ de los formales vector $(\text dx,\text dy,\text dz)$. Este objeto tiene ahora la correcta transformación ley en virtud de la inversión de tiempo, ya que $\text dt\mapsto -\text dt$$\text d\mathbf x\mapsto\text d\mathbf x$, y por lo tanto $$J\mapsto\rho\ \text dx\wedge\text dy\wedge\text dz - \text dt\wedge(\mathbf J\cdot\star\text d\mathbf x).$$