Hay algo en una serie geométrica que la hace fácilmente verificable. Series como $\sum\frac{10^n}{9^n}$ o $\sum\frac{1}{2^n}$ no están tan mal; las variables $n$ son simples y fácilmente alcanzables, y las fracciones no son complejas. Pero tengo problemas con una serie que parece algo diferente:
$$\sum\frac{2^n}{9^{2n+1}}$$
Su secuencia converge, así que sé que puedo aplicar los métodos aprendidos. Lo primero que hice fue extraer una constante de la secuencia. Así que voy desde la secuencia original, que es:
$$a_n = \{\frac{2}{729}, \frac{4}{59049}, \frac{8}{478296}, \frac{16}{387420489}\}$$
a
$$a_n = \frac{2}{9}(\frac{1}{81}, \frac{2}{6561}, \frac{4}{531441}, \frac{8}{43046721})$$
He calculado la nueva secuencia como: $\frac{2^n}{9^{2n}}$ y después de simplificar las constantes, pude recrear la serie en un casi forma geométrica de $ar^{n-1}$ con $\frac{1}{9}$ como $a$ y $\frac{2^n}{9^{2n}}$ como una especie de mi $r$ . Ahora mismo, tengo esto:
$$\sum\frac{1}{9}(\frac{2^n}{9^{2n}})$$
Este es un poco mi dilema. Tener el $2n$ en el denominador es un problema grave; me impide crear un $ar^{n-1}$ y I Necesito un $ar^{n-1}$ fórmula si quiero probar la convergencia de esta serie, al menos con los métodos que he aprendido hasta ahora. Así que estoy bastante atascado.
¿He hecho algo mal en mis cálculos? ¿Cómo puedo convertir esto en la fórmula adecuada para poder probar la convergencia de la serie? Se agradece cualquier ayuda.
Muchas gracias,
-Zolani
