He estado leyendo sobre los espacios de Sobolev y un comentario decía que $H_0^1$ es decir, el espacio de $H^1$ -con valores de límite cero, no es lo mismo que $H^1$ . Esto me parece claro, pero cuando intenté pensar en una prueba para esto no tenía ni idea de cómo probarlo.
Respuesta
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Considere $\Omega$ la bola unitaria de $\Bbb R^d$ y la función constante igual a $1$ : es claramente un elemento de $H^1(\Omega)$ . Sin embargo, no está en $H^1_0(\Omega)$ de lo contrario se contradice la desigualdad de Poincaré ( $\lVert u\rVert_{L^2}\leqslant C\lVert \nabla u\rVert_{L^2}$ ).
En particular, esto demuestra que estos espacios no son iguales cuando se aplica dicha desigualdad.
Una noción que puede ayudar a entender la diferencia es la de rastro. Con buenas condiciones de regularidad de la frontera del conjunto abierto considerado, las funciones de $H^1_0(\Omega)$ son los elementos de $H^1(\Omega)$ cuya traza es $0$ . Intuitivamente, esto puede explicarse por el hecho de que "con la aproximación por funciones con soporte compacto no podemos esperar obtener nada distinto de cero en la frontera", y para que esto sea riguroso necesitamos gráficos.
