función continua

Question

Permita que$f:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$ sea una función definida como:
$$ f (x) = \begin{cases} 0 & x^2 < 2\\ 1 & x^2 \geq 2 \end {cases}$$ Is this function continuous? How can we check the continuity around $ \ sqrt {2}$ since it's not in $ \ mathbb {Q} $?

Answer 1

Como$\sqrt{2}$ no está en$\mathbb{Q}$, no tiene que verificar la continuidad en$\sqrt{2}$: ¡es completamente irrelevante!

Answer 2

Pista: Tiene usted razón, sólo es necesario comprobar la continuidad alrededor (es decir, cerca)$\sqrt 2$, no en% $\sqrt 2$.

Answer 3

$f$ es continuo si es continuo en cada punto en$\mathbb Q$. No es necesario verificar la continuidad alrededor de un punto que no existe en el dominio.

Sugerencia: para todos los demás puntos, puede ver que existe un vecindario en el que$f$ es constante.

Answer 4

Como la imagen de$f$ es discreta, solo necesitamos verificar que las fibras de$f$ estén abiertas. Pero $$ f ^ {- 1} (0) = (- \ infty, \ sqrt {2}) \ cap \ mathbb Q \ quad \ text {y} \ quad f ^ {- 1} (1) = (\ sqrt {2}, \ infty) \ cap \ mathbb Q $$ entonces$f$ es continuo.