Prueba

Question

Estoy realmente atrapado mientras trato de probar esta afirmación:

$\forall n \in \mathbb{N},\quad (n+3) \mid (3n^3-11n+48)$.

Ni siquiera podía comenzar.

Answer 1

Asumiendo que en realidad estás tratando de demostrar que$n+3$ divide$3n^3-11n+48$, siempre puedes simplemente hacer una división larga polinomial:

$$ \begin{array}{rrr|rr} &&&&&3n^2&-&9n&+&16\\ \hline n&+&3&3n^3&&&-&11n&+&48\\ &&&3n^3&+&9n^2\\ \hline &&&&&-9n^2&-&11n\\ &&&&&-9n^2&-&27n\\ \hline &&&&&&&16n&+&48\\ &&&&&&&16n&+&48\\ \hline \end {array} $$

No hay resto, entonces

ps

Answer 2

Para ampliar la respuesta del hombre de las cavernas: Note que la división larga polinomial funciona bien aquí:

Dividir$$3n^3 - 11n + 48 \tag{dividend}$$ by $ \; (n + 3) \; \; \ text {(divisor)}, \;$ gives a quotient of $$3n^2 - 9n + 16\tag{quotient}$ $

y deja un resto de$0$. ps

El resultado de dividir$$\text{That is, }\quad\quad\frac{3n^3 - 11n + 48}{n+3} = \;3n^2 -9n + 16 $ entre$ $, donde$ \iff \;\;(n+3)(3n^2 - 9n + 16) = 3n^3 - 11n + 48$ es ANY$\,(3n^3 - 11n + 48)\,$, da un cociente entero:$\,(n+ 3)\,$, sin resto.

ps

Answer 3

Hay dos formas de rutina para ver esto:

1. Haz la división larga del polinomio$(3n^3 -11n + 48) / (n+3)$ y comprueba que el resto sea$0$.

2. Un polinomio$f(n)$ es divisible por$(n - a)$ si y solo si$f(a) = 0$. Entonces en este ejemplo,$f(n) = 3n^3 -11n + 48$. Al conectar$a = -3$ a$f$ obtenemos$f(-3) = 0$, lo que muestra que$f(n)$ es divisible por$(n - (-3)) = (n + 3)$.

Answer 4

Sugerencia $3*(-3)^3-11*(-3)+48=-81+33+48=0$.