La verdad del Teorema de Nyonyon

Question

Permita que$s= ab$ sea un número semiprime. Entonces el Teorema de Nyonyon establece que$s+a$,$s+b$,$s+a+b$ no son todos coprime a tres.

(En otras palabras: no existen$s= ab$ semiprimes de modo que$s+a$,$s+b$ y$s+a+b$ sean coprime a tres).

He comprobado muchos números, y creo que el Teorema de Nyonyon es absolutamente cierto, pero no entiendo por qué ocurre este fenómeno. ¿Alguien me puede explicar / probar por qué sucede esto?

Answer 1

Si$s$ es coprime a$3$, entonces ambos$a,b$ son coprime a$3$. Tenemos tres posibilidades.

1. Si$a \equiv b \equiv 1 \pmod 3$, entonces$s \equiv 1 \pmod 3$ y así$s + a + b$ es divisible por$3$.
2. Si$a \equiv 1 \pmod 3$ y$b \equiv 2 \pmod 3$, entonces$s \equiv 2 \pmod 3$ y así$s + a$ es divisible por$3$. (Del mismo modo, si los roles de$a,b$ están invertidos).
3. Si$a \equiv b \equiv 2 \pmod 3$, entonces$s \equiv 1 \pmod 3$ y$s + a$ y$s + b$ son divisibles por$3$.

Esto prueba el teorema. $\diamondsuit$

Answer 2

Si ninguno de$$ab+a,\quad ab+b,\quad ab+a+b $ $ es divisible por tres, ninguno de$$ a(b+1),\quad b(a+1),\quad (a+1)(b+1)-1 $ $ es divisible por tres. Entonces$a,b\not\in\{0,2\}\pmod{3}$, eso implica$a\equiv b\equiv 1\pmod{3}$.

Pero en tal caso:$$ (a+1)(b+1)-1 \equiv 2\cdot 2-1\equiv 0\pmod{3}.$ $

Answer 3

Supongamos que existe una semiprima como$s=ab$, tenemos$s+b=b(a+1)$ y$s+a=a(b+1)$ todos son coprime a$3$ por lo tanto$a\equiv b\equiv 1 \mod 3$ pero en este caso$s+a+b\equiv 1+1+1 \equiv 0\mod 3 $ contradicción