Encuentre el límite de$(u_n)$ cuando$n \rightarrow +\infty $

Question

Deje $$ (u_n): \begin{cases} u_1=0\\u_2=1 \\ u_{n+1}=\dfrac{3u_{n-1}+2}{10u_n+2u_{n-1}+2}, \forall n \in \mathbb{N}\end {cases} $$

Encuentre el límite de$(u_n)$ cuando$n \rightarrow +\infty $

Puedo probar que$0 <u_n<1 ,\forall n \in \mathbb{N}$ pero es todo lo que puedo hacer,$(u_n)$ no es la secuencia decreciente o creciente calculada por computadora. Puedo verla.

Answer 1

Sugerencia: Para la monotonía parte, puede ser útil para escribir la recurrencia como $$ u_{n+1}=\dfrac{3u_{n-1}+2}{10u_n+2u_{n-1}+2}=\dfrac{1}{\dfrac{10u_n+\frac23}{3u_{n-1}+2}+\dfrac23}.$$ Ahora, suponga que $u_{n}>u_{n-2}$ $u_{n-1}< u_{n-3}$ y comprobar lo que da de $u_{n+1}$.

Entonces usted sabe que tanto el par y el impar larga convergen, decir hacia $a$$b$. Usar esto con la definición de recurrencia para obtener dos ecuaciones para $a$$b$. Restar ellos para conseguir

$$2(a^2-b^2)=a-b.$$

Si $a$ $b$ son diferentes, usted puede utilizar esto para calcular el $a$$b$, y encontrar los valores complejos, por lo que de llegar a la conclusión de que son los mismos y calcular la respuesta final.