Hace un par de semanas me hizo una pregunta acerca de cómo encontrar el número de máxima ideales que yace por debajo de $3\mathbb{Z}$ $B$ donde $B$ es la integral de cierre de $\mathbb{Z}$ en la división de extensión de la $E\supset\mathbb{Q}$ para el polinomio $f(x)=x^3+x+1$.
Estoy leyendo sobre la siguiente solución, pero me gustaría hacerle algunas preguntas de seguimiento.
Desde el discriminante de $f(x)$ es negativo, dos de las raíces son complejos conjugados, y ya que la conjugación es de orden 2, el grado de la extensión debe ser de 6. Por lo tanto podemos pensar de $E$ como adyacentes de dos raíces $a$ $b$ $f(x)$ $\mathbb{Q}$donde $a$ satisface $a^3+a+1$ $b$ satisface el polinomio $(x^3+x+1)/(x-a)=x^2+ax+a^2+1$.
Así que el factor de $(3)$ $\mathbb{Z}[a]$ por factorización $x^3+x+1\pmod{3}$. Puesto que hay una raíz modulo 3, se sigue que $$ x^3+x+1=(x-1)(x^2+x-1)\pmod{3} $$ y así, como hemos visto, $(3)$ factores $\mathbb{Z}[a]$$(3)=(3,a-1)(3,a^2+a-1)$.
Ahora desde $a\equiv 1\mod (3,a-1)$, el polinomio $x^2+ax+a^2+1$ hace $x^2+x+2$, que es irreductible, modulo 3, y por lo tanto no reduce aún más. También, desde la $a^2=-a+1$ modulo de este ideal, el polinomio puede ser simplificado a $x^2+ax-a+2$, por lo que cualquier raíz tiene por $ra+s$ $r$ $s$ enteros modulo 3. Esto le da al conjunto de ecuaciones $$ \begin{align*} (ra + s)^2 + a(ra + s) - a + 2 = 0 &\iff r^2a^2 + 2ras + s^2 + ra^2 + sa - a + 2 = 0,\\ &\iff r^2(-a + 1) + 2ras + s^2 + r(-a + 1) + sa - a + 2 = 0. \end{align*} $$ y por lo $-r^2 + r + s - 1 = 0$, e $r^2 + s^2 + r + 2 = 0 \pmod{3}$. Esta antigua ecuación implica $s\equiv (r+1)^2\pmod{3}$, y sustituyendo en la segunda da $r^2+(r+1)^4+r+2\equiv 0\pmod{3}$. Esto es cierto cuando se $r=0$$s=1$, lo $x=1$ es una raíz de $x^2+ax-a+2\mod(3,a^2+a-1)$. Esto a su vez implica que factores como $x^2+ax-a+2=(x-1)(x+a+1)$.
Por lo tanto $(3, a^2 + a - 1) = (3, a^2 + a - 1, b - 1)(3, a^2 + a -1, b + a + 1)$, y por lo tanto hay tres factores primos, y por lo tanto la máxima ideales desde $3\mathbb{Z}$ es máxima en $\mathbb{Z}$, está por encima $3\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$.
Veo que el $3\mathbb{Z}$ es el producto de la $3$ factores que se encuentran, pero hay una explicación más detallada acerca de por qué esto implica inmediatamente que hay $3$ máxima ideales que yace por debajo de $3\mathbb{Z}$? No veo cómo la conclusión de la siguiente manera tan rápidamente. No tendría que ser alguna singularidad de este factoring para que funcione como lo hace? Gracias por sus respuestas.
