Función casi lineal del espacio vectorial

Question

Encontrar una función $f:V \rightarrow W$, donde $V$ y $W$ son espacios vectoriales y V se define en $\mathbb{K}$, que $$f(x+y) = f(x) + f(y), \forall x,y \in V$$ but $$\exists un \in \mathbb{K}: f (ax) \neq af(x). $$ he tanto tiempo probado con algunos álgebra que esto es imposible para las funciones $\mathbb{Q}$, que pueden ser algo agradables ejercicio, así como para que quieran hacer este ejercicio.

Answer 1

Sugerencia: Cuando se trabaja en $\mathbb{Z_p}, (x+y)^p = x^p + y^p$ (donde $p$ es una privilegiada).

Answer 2

Que $K=\mathbb Q(\sqrt 2)$ ser nuestro campo, $V=W=K$ unidimensional y definir $f\colon V\to W$, $a+b\sqrt 2\mapsto a-b\sqrt 2$. O, $V=W=K=\mathbb C$ y $f(z)=\bar z$, que aún continua.

Si el campo de la tierra es $\mathbb Q$, tienes razón: aditividad implica $f(n\cdot x)=n\cdot f(x)$ y por lo tanto también $f(\frac xn)=\frac1nf(x)$ y en última instancia para las fracciones arbitrarias.

Si el campo de la tierra es $\mathbb R$, es una extensión de campo de $K=\mathbb Q(\sqrt 2)$ y $f$ definido anteriormente puede ampliarse (usando el axioma de elección, sin duda) por consiguiente para dar un ejemplo.

Answer 3

De $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ satisfactorio Cauchy ecuación funcional $f(x+y)=f(x)+f(y)$, tenemos $$ f(\alpha x) = \alpha f (x) \quad \forall \alpha,x\in \mathbb{R} $$ si y $f$ es continua.

Hay un montón de descubrir soluciones a esta ecuación. Se conocen como funciones de Cauchy-Hamel. Usted puede encontrar aquí una manera de construirlas.

Nota Hamel demostró que su gráfico es densa en $\mathbb{R}^2$.