Considere
$$(A\otimes C)/(B\otimes C)$$
donde $B$ es un submódulo de $A$ . ( $A,B,C$ son $R$ -módulos).
¿Es cierto que $$(A\otimes C)/(B\otimes C)\cong(A/B)\otimes C$$ ?
Gracias. Si no, ¿hay algún contraejemplo fácil?
Esto es más o menos cierto.
Hay un mapa natural de $B\otimes C$ a $A\otimes C$ pero en general no es inyectiva, por lo que no podemos pensar en $B\otimes C$ como submódulo de $A\otimes C$ . Pero la imagen $I$ de este mapa es un submódulo de $A\otimes C$ y $(A\otimes C)/I$ es isomorfo a $(A/B)\otimes C$ .
Lo que ocurre es que el producto tensorial es exacto. Tenemos una secuencia exacta $$0\to B\to A\to A/B\to 0$$ y cuando tensorizamos con $C$ obtenemos que $$B\otimes C\to A\otimes C\to (A/B)\otimes C\to 0$$
es exacta.
Muy buena respuesta. Sólo para confirmar, el mapa natural es $\phi: B\otimes C\to A\otimes C$ definido por $b\otimes c\mapsto b\otimes c$ (extender linealmente)?
@yoyostein Exactamente: $I$ es generado por el $b\otimes c$ pero $I$ no es necesariamente isomorfo a $B\otimes C$ .
Además, puedo ver que el mapa natural no es inyectivo, pero ¿por qué eso significa $B\otimes C$ no es un submódulo de $A\otimes C$ ? Yo pensaba que $B\otimes C$ es un subconjunto de $A\otimes C$ que también es un módulo (si $R$ es conmutativo), por lo que significa que es un submódulo?
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
