Geometría algebraica: ¿Qué estoy haciendo mal?

Question

Esto puede ser una pregunta estúpida. Pero por favor explique lo que estoy haciendo mal.

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo. Deje $f\in k[x_1,\dots, x_n]$.

Deje $$D(f)=\mathbb{A}^n\setminus Z(f)$$ A continuación, $D(f)\subseteq \mathbb{A}^n$ está abierto.

Podemos considerar $\mathbb{A}^n$ como subavariety de $\mathbb{A}^{n+1}$. Considere el polinomio anillo de $n+1$ variables $k[x_1,\dots, x_n, y]$ que corresponde a $\mathbb{A}^{n+1}$. Sabemos que $Z(fy-1)\subseteq \mathbb{A}^{n+1}$ es homeomórficos a $D(f)\subseteq \mathbb{A}^n$. Esto significa que podemos considerar $D(f)$ como un subconjunto cerrado de $\mathbb{A}^{n+1}$.

La realidad de la topología:

Deje $C\subseteq Y\subseteq X$. Si $C$ es cerrado en $X$, $C$ es cerrado en $Y$.

Desde $D(f)$ es cerrado en $\mathbb{A}^{n+1}$, no debe ser cerrado en $\mathbb{A}^n$?

Answer 1

Es el conjunto de $Z(fy-1)$ homeomorfa a $D(f)$, pero no es igual! Mientras está cerrado $Z(fy-1)$ $\mathbb{A}^{n+1}$ $D(f)$ no es y no trata de contradicción puesto que no son realmente el mismo sistema.

Puede ser útil pensar en el siguiente ejemplo más familiar. Un intervalo abierto $(0,1)$ es homeomorfa a $\mathbb{R}$. Pero está cerrada $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$, $(0,1)$ no es.

Answer 2

Que $C\subseteq Y\subseteq X$. Si está cerrado $C$ $X$, $C$ está cerrado en $Y$.

Si está configurando $Y = \mathbb A^n$, $X=\mathbb A^{n+1}$ y $C = D(f)$, entonces es claro: no se cierra $D(f)$ $\mathbb A^{n+1}$ por lo que no se cumpla con la condición de su estado de cuenta (pero es cierto que $D(f)$ es homeomorfa a un subconjunto cerrado $Z(yf-1)$ de $\mathbb A^{n+1}$)