Expectativa de "Inesperado"

Question

Puede cualquiera de nuestros Monte Carlo, explican los expertos, el "inesperado" expectativa al final de esta respuesta?

Ex post facto resumen de la pregunta/respuesta: si $X_1,\dots,X_n$ son variables aleatorias IID y las expectativas de $\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$ existe, entonces, una simple simetría argumento muestra que $\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]=1$, pero un experimento de Monte Carlo con $X_i\sim\mathrm{N}(0,1)$ parece contradecir esta proposición.

x <- matrix(rnorm(10^6), nrow = 10^5)
mean(x[,2]/rowMeans(x))

[1] 5.506203

Answer 1

La explicación para el Monte Carlo de la evaluación de la relación $\mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)]$ tomando extraño valores es que la expectativa no existe. Como una transformación de una de Cauchy $X_1/X_2$ en su Normal ejemplo. De hecho, \begin{align*} \mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)] &=\mathbb{E}[1/(1+X_2/X_1)]\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+y}\,\frac{1}{\pi(1+y^2)}\text{d}y \end{align*} que no es integrable en $y=-1$ desde equivalente a $(y+1)^{-1}$.

Tenga en cuenta que $X_1/\bar{X}$ no es de Cauchy de la variable aleatoria pero la transformación de una de Cauchy de la variable aleatoria por la función$$f:\ y \to \dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}y}$$The reason is that$$(X_2+\ldots+X_n)\sim\text{N}(0,n-1)$$y que $$\frac{X_1}{\bar{X}}=\dfrac{n}{1+(X_2+\ldots+X_n)/X_1}=\dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}Z/X_1}$$where $Z\sim\text{N}(0,1)$.