Qué es la expectativa de una variable aleatoria dividida por una media $E\left[\frac{X_i}{\bar{X}}\right]$ ?

Question

Dejemos que $X_i$ sea IID y $\bar{X} = \sum_{i=1}^{n} X_i$ . $$E\left[\frac{X_i}{\bar{X}}\right] = \ ?$$ Parece obvio, pero tengo problemas para derivarlo formalmente.

Answer 1

Dejemos que $X_1,\dots,X_n$ sean variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas y definamos $$\bar{X}=\frac{X_1+X_2\dots+X_n}{n}.$$

Supongamos que $\Pr\{\bar{X}\ne 0\}=1$ . Desde el $X_i$ están idénticamente distribuidos, la simetría nos dice que, para $i=1,\dots n$ las variables aleatorias (dependientes) $X_i/\bar{X}$ tienen la misma distribución: $$\frac{X_1}{\bar{X}} \sim \frac{X_2}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_n}{\bar{X}}.$$ Si las expectativas $\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$ existe (este es un punto crucial), entonces $$\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] = \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] = \dots = \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right],$$ y, para $i=1,\dots,n$ tenemos $$\begin{align} \mathrm{E}\left[ \frac{X_i}{\bar{X}} \right] &= \frac{1}{n} \left( \mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] + \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] + \dots + \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \right) \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} + \frac{X_2}{\bar{X}} + \dots + \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1+X_2+\dots+X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{n\bar{X}}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{n}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{\bar{X}}{\bar{X}} \right] = 1. \end{align}$$

Veamos si podemos comprobarlo mediante un simple Monte Carlo.

x <- matrix(rgamma(10^6, 1, 1), nrow = 10^5)
mean(x[, 3] / rowMeans(x))

[1] 1.00511

Bien, y los resultados no cambian mucho con la repetición.