Probar que cada espacio métrico compacto es separable

Question

Estoy en el instituto y en el análisis autodidacta. Completé esta prueba para un problema en Rudin, pero quería una verificación. ¿Esto se ve correcto?

Prueba de que cada espacio métrico compacto $K$ tiene una base contable y por lo tanto es separable:

Considere $p \in K$ con una arbitraria $ \epsilon > 0.$ Por el Principio Arquímico, existe un número natural $n$ de tal manera que $ \frac {1}{n} < \epsilon. $

Considere la cubierta abierta $$K \subset \bigcup_ {i \in K} N_{ \frac {1}{n}}(i).$$ Desde $K$ es compacto, existe una subcubierta finita $$K \subset \bigcup_ {i \in X_n} N_{ \frac {1}{n}}(i),$$ donde $X_n = \{x_{1_n}, x_{2_n}, x_{3_n}, ... x_{j_n}\} \subset K$ para algunos $j_n \in \mathbf {N}.$

Desde $p \in K$ , $p \in N_{ \frac {1}{n}}(x_{i_n})$ para algunos $x_{i_n} \in X_n$ .

Esto significa que $d(p, x_{i_n}) \leq \frac {1}{n}$ lo que también implica que $x_{i_n} \in N_ \frac {1}{n}(p) \subset N_{ \epsilon }(p),$ así que $x_{i_n} \in N_{ \epsilon }(p).$

Desde $x_{i_n}$ es miembro de $X_n$ , $N_{ \epsilon }(p)$ por lo tanto intersecta el subconjunto finito $X_n$ .

Como las opciones para $p \in K$ y $ \epsilon $ fueron arbitrarias, cualquier vecindario alrededor de cada punto en $K$ debe intersecar un subconjunto contable $X$ .

Por definición, el cierre de un conjunto, $K \subset $ cl $(X)$ . Esto significa que $X$ es denso en $K$ y así forma una base contable.

Por lo tanto $K$ es separable.

Answer 1

La idea es correcta, pero no está bien argumentada, creo. Sin embargo, es sobre todo un problema de notación, además de una debilidad que subrayaré más adelante.

Yo seguiría la pista, es decir, probar primero que el espacio tiene una base contable.

Para todos los enteros $n>0$ la tapa abierta $\{N_{1/n}(p):p\in K\}$ tiene una subcubierta finita; sea $X_n=\{x_{n,1}, x_{n,2}, \dots, x_{n,m(n)}\}$ sea tal que $$ K=\bigcup_{i=1}^{m(n)}N_{1/n}(x_{n,i}) $$ Afirmo que el conjunto $$ \mathcal{B}=\bigcup_{n>0}\bigl\{N_{1/n}(x_{n,i}):1\le i\le m(n)\bigr\} $$ es una base contable para $K$ . La contabilidad es evidente. Sea $p\in K$ y $\varepsilon>0$ queremos demostrar que existe $n>0$ y $i$ con $1\le i\le m(n)$ tal que $N_{1/n}(x_{n,i})\subseteq N_\varepsilon(p)$ .

Toma $n$ tal que $1/n<\varepsilon/2$ . Entonces $p\in N_{1/n}(x_{n,i})$ para algunos $1\le i\le m(n)$ . Si $q\in N_{1/n}(x_{n,i})$ entonces $$ d(p,q)\le d(p,x_{n,i})+d(x_{n,i},q)<\frac{1}{n}+\frac{1}{n}<\varepsilon $$ así que $N_{1/n}(x_{n,i})\subseteq N_\varepsilon(p)$ (este es un punto en el que su prueba es débil).

Ahora cada El espacio métrico que tiene una base contable es separable. Basta con tomar un punto en cada miembro (no vacío) de la base y éste es un subconjunto denso, porque cada conjunto abierto es la unión de los miembros de la base, por lo que interseca este subconjunto contable.

Answer 2

$X_n = \{x_{1_n}, x_{2_n}, x_{3_n}, ... x_{j_n}\} \subset K$

Esto debería decir algo como $X_n = \{x_{1,n},\dots,x_{j_n,n}\}$ . Escribir $1_n$ y $2_n$ y demás no tiene sentido. Ponemos subíndices en las variables, no en los números.

Esta parte no tiene sentido:

Como las opciones de $p \in K$ y $\varepsilon$ fueran arbitrarias, cualquier vecindad alrededor de cada punto en $K$ debe intersecar un subconjunto contable $X$ .

¿Qué es? $X$ ? ¿Depende de $p$ ? en $\varepsilon$ ? Tal vez quiera decir que $X = \bigcup_{n \ge 1} X_n$ pero entonces has definido $n$ basado en $\varepsilon$ cuando no deberías haberlo hecho.

También parece que confundes "base contable" con "conjunto denso contable" cuando son cosas diferentes. Una base contable es una colección contable $B$ de conjuntos abiertos tal que todo conjunto abierto puede escribirse como una unión de conjuntos en $B$ . Por ejemplo $B = \{(a, b) : a < b \text{ and } a, b \in \mathbf{Q} \}$ es una base contable para la topología de $\mathbf{R}$ .

Lo que tendrás son conjuntos $X_n = \{x_{1,n},\dots,x_{j_n,n}\}$ tal que $$ K = \bigcup_{i = 1}^{j_n} N_{1/n}(x_{i,n}). $$ Entonces $$ B = \{ N_{1/n}(x_{i,n}) : n \in \mathbf{N}, 1 \le i \le j_n \} $$ es una base contable y $$ X = \{ x_{i,n} : n \in \mathbf{N}, 1 \le i \le j_n \} $$ es un conjunto denso contable.