Cuando existe el límite de $a_n$ donde $a_{n+1}:=a_n+\frac{a_n^2}{n^2}?$

Question

Considerar la relación recursiva $a_{n+1}:=a_n+\cfrac{a_n^2}{n^2}$. La existencia de $\lim_n a_n$ depende del valor inicial $a_1$. Por ejemplo:

Si $a_1=1$, $a_n=n$ y la sucesión es divergente.

Si $a_1=0$, $a_n=0$ y la sucesión es convergente.

Preguntas:

• Cálculo numérico que muestra que si $a_1\in(-2,1)$, entonces es convergente. Es ese derecho? Cómo probar que, y podemos encontrar el límite?
• Cómo acerca de $a_1\in \mathbb{C}$ ?

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P. S: he encontrado esta relacionado con Göbel de la Secuencia.

Answer 1

$-1<a_1<0$ Podemos ver que $a_n<0$ y $a$ aumenta.

El caso $-2<a_1<-1$ debe ser similar al caso siguiente, pero no tengo una prueba.

Que $0<a_1<1$.

Por inducción fácil demostrar que $a_n<na_1$.

Así, es $k$, que $a_{k}<k-1$.

Además, contamos con: $$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_n}{n^2a_{n+1}}<\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}.$ $ por lo tanto, para todos los $n>k$ obtenemos: $$\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_n}=\sum_{i=k}^{n-1}\left(\frac{1}{a_{i}}-\frac{1}{a_{i+1}}\right)<$ % $ $$<\sum_{i=k}^{n-1}\left(\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i}\right)=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{n-1}<\frac{1}{k-1}.$$ Id est, $$\frac{1}{a_n}>\frac{1}{a_k}-\frac{1}{k-1}$$ and since $% $ $\frac{1}{a_k}-\frac{1}{k-1}>0,$hemos terminado!