¿Si $R$ $S$ son anillos comutativos, y hace la categoría $R \oplus S$-módulos encompase la categoría de $(S,R)$-bimodules?
Estaba pensando que podemos lograr esto mediante la definición de la acción para ser: $(r,s)\cdot x:=r\cdot (x\cdot s)$ y luego hacer algo accoring de los morfismos.
¿Soy yo con vistas a algo o es esto realmente cierto?
El producto directo de los anillos no es realmente el camino a seguir. Usted no puede obtener un aditivo adecuado propiedades (como Eric Wofsey describe.) Una $R,S$ bimodule estructura es equivalente a un $R\otimes S^{op}$ estructura del módulo. Usted puede probar esto a partir de lo que ya ha escrito. Sólo se necesita aplicar las propiedades del producto tensor.
Si $R$ $S$ son centrales simple $K$ álgebras, a continuación, $R\otimes_K S^{op}$ es central sencillo también, pero $R\times S$ no está, así que no habrá diferencias en el módulo de categorías.
Esto no funciona. Si define $(r,s)\cdot x=rxs$, entonces para que esto para darle una estructura de módulo $R\times S$ necesita tener % o $(r,s)x+(r',s')x=(r+r',s+s')x$ $rxs+r'xs'=(r+r')x(s+s')$, pero esto generalmente no es cierto. Por ejemplo, si $s'=0$, esto es decir que $rxs=(r+r')xs$ lo $r'xs=0$ % todo $r'\in R$y % todo $s\in S$, que casi nunca es cierto.
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