Calcular esta suma $\sum \frac{1}{(4n+1)(4n+3)}$

Question

Estoy teniendo problemas para calcular esta suma: $\sum \frac{1}{(4n+1)(4n+3)}$. Estoy tratando de utilizar series telescópicas, sin éxito:

$\sum \frac{1}{(4n+1)(4n+3)}=1/2\sum \frac{1}{(4n+1)}-\frac{1}{(4n+3)}$

Necesito ayuda aquí

Muchas gracias

Answer 1

$$\sum_{n\ge 0}\left(\frac1{4n+1}-\frac1{4n+3}\right)=1-\frac13+\frac15-\frac17+... =\frac\pi4$ $ Precisamente, considerar el % de sumas parciales $S_k:=\displaystyle\sum_{n=0}^k\frac1{(4n+1)(4n+3)}$, entonces es igual a la suma parcial de la $2k^{\text{th}}$de la % del Leibniz serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{2k}\frac{(-1)^n}{2n+1}$, que converge a $\pi/4$. Así, la solución es $\pi/8$.

Answer 2

ps

Answer 3

Sólo considere la serie %#% $ #% por lo tanto,
$$\sum_{n\geq1}\dfrac{\mathbb{i}^n}{n}=-\ln(1-\mathbb{i})=-\dfrac{\ln 2}{2}+\dfrac{\pi}{4}\mathbb{i}$$