Que %#% $ de #% donde $$a=\sum_{n=1}^\infty(1 \mod \phi^{-n})2^{n/3},$ es la proporción áurea y $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
Cómo puedo probar que $1 \mod x=1-x\lfloor x^{-1}\rfloor$ satisface la ecuación $a$ $
Respuesta
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La siguiente aproximación trabajo, aunque los detalles son sucios. Deje $\psi = (1 - \sqrt{5})/2 = -1/\phi$ ser el Galois conjugado de $\phi$. A continuación, la cantidad de $b_n = \phi^n + \psi^{n}$ es un número entero, porque es un entero algebraico y invariantes bajo la Galois automorphism $\sqrt{5} \mapsto -\sqrt{5}$. Pero $|\psi|<1$, e $\psi$ es negativo, de modo que $\lfloor{\phi^n}\rfloor$ es igual a $b_n$ si $n$ es impar, o $b_n - 1$ si $n$ es incluso. Por lo tanto, tenemos $$(1\,\mathrm{ mod }\,\phi^{-n}) = 1 - \frac{\lfloor{\phi^n}\rfloor}{\phi^n} = 1 - \frac{\phi^n + \psi^n - e_n}{\phi^n} = \frac{-\psi^n+ e_n}{\phi^n}$$ where $e_n$ is 0 if $n$ is odd, 1 if $n$ is even. Now that we've gotten rid of the floor, we can substitute this expression into the sum, which produces some geometric series which can easily be evaluated. The result is clearly an algebraic number in $\mathbb{Q}(\phi, 2^{1/3})$, y por lo tanto tiene un grado en la mayoría de los 6. Encontrar el exacto mínima polinomio será complicado, aunque.
Aquí hay más detalles: Desde $\psi^n = (-\phi)^{-n}$, la suma se convierte en $$\sum_{n=1}^{\infty} -(-2^{1/3} \phi^{-2})^n + (2^{2/3} \phi^{-2})^n$$ Tanto de las cantidades entre paréntesis encima tienen valor absoluto menor que 1, así que los dos por separado serie geométrica converge de forma individual. Dejando $u = -2^{1/3} \phi^{-2}$$v = 2^{2/3}\phi^{-2}$, la suma es igual a $$a = \frac{v}{1-v} - \frac{u}{1-u} \approx 1.86511275789174$$ which, at least numerically, appears to satisfy the polynomial given: $$2255 a^6 - 2340 a^5 - 3174 a^4 - 672 a^3 + 180 a^2 + 36 a - 36 \approx -4.8 \cdot 10^{-12}.$$ I also numerically calculated the Galois conjugates of $un$ y, a continuación, utiliza los valores para calcular el polinomio característico, que le da a la anterior polinomio. (Todos los cálculos realizados en Sage).
