Un subgrupo con un índice de 2 es normal para el grupo.

Question

¿Por qué es un subgrupo con el índice de 2 el grupo? Creo que tiene algo que ver con ser la mitad y tener a dónde ir.

Answer 1

Bueno, tienes razón; se trata de "estar a la mitad y sin lugar a donde ir."

Así que vamos a $G$ ser un grupo y vamos a $H$ ser un subgrupo de $G$ tal que $[G:H] = 2$; a continuación, $H$ tiene dos cosets de la forma $gH$ o $Hg$$G$; tiene dos a la izquierda cosets, y tiene dos cosets. Ahora para cualquier $g \in G$, $g \notin H$, tenemos $G = H \cup gH = H \cup Hg$ como el coset particiones de $G$. Desde $H \cap gH = H \cap Hg = \varnothing$, debemos tener $gH = Hg$ desde que claramente $gH \ne H \ne Hg$; recuerden $g \notin H$ aquí. Pero $gH = Hg$ implica $gHg^{-1} = H$, de donde $H$ es normal en $G$.

Espero que esto ayude. La Alegría De Las Fiestas,

y, por supuesto,

Fiat Lux!!!