dejar $f$ sea holomorfa en la esfera unitaria y $|f(z)| = 1$ para $|z| = 1$ y $f(-1) = 1$ . Además $f$ no tiene ceros, determine $f$

Question

dejar $f$ sea holomorfa en la esfera unitaria y continua en el cierre, supongamos $|f(z)| = 1$ para $|z| = 1$ y $f(-1) = 1$ . además $f$ no tiene ceros, determine $f$ .

Hasta ahora sé con el teorema del módulo máximo que $f(x)$ tiene un máximo en el límite que es 1. Así que $|f(z)| \leq 1$ . Primero usé el teorema de Louisville, pero $f$ no es necesario que sea holomorfo en $\mathbb{C}$ . ¿Hay alguna manera de utilizar el hecho de que $f$ no tiene ceros para determinar $f$ ?

Mick

Answer 1

Sugerencia: si $f$ no tiene ceros en el disco unitario, entonces considera la función $\frac1f$ en el cierre de la unidad para deducir que $|f|$ toma su valor máximo y mínimo, en el límite del disco unitario. Pero $|f|$ es constante en la frontera, así que...

Answer 2

Definamos $g(z) =\frac{1}{f(z)} $ entonces $g$ es holomorfo y $|g(z)|\geqslant 1 $ en el disco de la unidad y $|g(z)| =1$ en el límite, por lo tanto, por el principio del módulo máximo $g(z) =\mbox{ constant }$ y como $g(-1) =1 $ así $g(z)=1 $ para todos $z.$