¿Cómo probar que $\frac{\sin x}{x}$ es no Lebesgue integrable en $[0,+\infty]$?

Question

¿Cómo demostrar que $\displaystyle\int_0^{+\infty}\left|\dfrac{\sin x}{x}\right| \, dx = +\infty$? ¿Alguno podría dar algún consejo? Gracias.

Answer 1

$$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\left|\frac{\sin x}{x}\right|dx\geq\frac{1}{(k+1)\pi}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin x|dx.$$

El integral a continuación puede acatar un múltiplo constante de la serie armónica.

Answer 2

Indirecta: $\sum \frac {1}{n} =$ es ilimitada. Considerar los intervalos donde $|\sin x| > \frac {1}{2}$.