Identidades algebraicas

Question

Dado que $$a+b+c=2$$ and $% $ $ab+bc+ca=1$entonces el valor de

¿$$(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2$ $ es la cantidad?

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Tentativa:

Trató de ampliar la expresión. Pensamiento la versión ampliada contendrá un término de la expresión de $a^3+b^3+c^3-3abc$, pero no el caso.

Answer 1

Podemos ampliar $$(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2$ $ a

$$2 a^2 + 2 a b + 2 a c + 2 b^2 + 2 b c + 2 c^2 $$

Nosotros podemos cambiar esto para ser más útiles:

\begin{align}2 a^2 + 2 a b + 2 a c + 2 b^2 + 2 b c + 2 c^2 &= 2 a^2 + 2b^2+2c^2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c\\ &=2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+ac+bc)\end {Alinee el}

Sabemos el valor de $ab+ac+bc$, así que podemos decir que\begin{align}2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+ac+bc)&=2(a^2+b^2+c^2)+2\end {alinee el}

Ahora tenemos que encontrar el valor de $a^2+b^2+c^2$.

Esto lo podemos hacer como sigue:

\begin{align}(a+b+c)^2&=2^2\\ a^2 + 2 a b + 2 a c + b^2 + 2 b c + c^2&=4\\ a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)&=4\\ a^2+b^2+c^2+2\times 1&=4\\ a^2+b^2+c^2&=2\end {Alinee el}

Así que ahora podemos decir que\begin{align}2(a^2+b^2+c^2)+2&=2\times 2+2\\ &=6\end {alinee el}

Answer 2

Si desea el valor de expresión $(a+b)^2 + (b+c)^2 + (a+c)^2$ que el conjunto del Valle de $a=0$, $b=1$ $c=1$ (estos satisfacen las condiciones requeridas) y le van a obtener la respuesta.

$$(1)^2 + (2)^2 + (1)^2 = 6$$

Answer 3

Sugerencia:

Expresa $S_2=a^2+b^2+c^2$ en función de $s=a+b+c$ y $\sigma=ab+bc+ca$ de la identidad algebraica $(a+b+c)^2$.

Answer 4

O bien usas una identidad inteligente (ver las otras respuestas), o simplemente sustituye $c=2-a-b$ para que
$$ ab + bc + ca-1 = - a ^ 2 - ab + 2a - b ^ 2 + 2b - 1, $$ y se compara con la identidad en cuestión $$ (a + b) ^ 2 + (b + c) ^ 2 + (c + un) ^ 2 = 2a ^ 2 + 2ab - 4a + 2b ^ 2 - 4b + 8. $$ Esto no puede ser elegante, pero al menos sabe cómo hacerlo usted mismo.

Answer 5

Si expande encontrará su $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2xa+a^2+b^2+c^2$. Ahora Plaza primera ecuación y tenemos $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=4. ..(3)$ así ahora queremos valor de $4+a^2+b^2+c^2$ .rearranging $3$y usando la ecuación $2$ tenemos $a^2+b^2+c^2+2 (ab+bc+ac)=4$ $a^2+b^2+c^2+2=4$ valor de así así de la expresión que queremos es $4+a^2+b^2+c^2=4+2=6$