Mostrar que cada entero de la forma $a^2+b^2$ tiene todos los factores de esta forma, donde $(a, b)$ son números enteros distintos y relativamente prima

Question

Mostrar que cada entero de la forma $a^2+b^2$ tiene todos los factores de esta forma, donde $(a, b)$ son números enteros distintos y relativamente prima

Progreso

Si $a^2+b^2$ es primer entonces es ya probado, puesto que cada primer es un factor de su auto y $1=0^2+1^2$, pero no sé cómo probar para el resto de la caja. ¡Gracias!

Answer 1

Suponiendo que usted está hablando acerca de los números de la forma$n=a^2+b^2$$\gcd(a,b)=1$, entonces cada impar prime $p$ que divide $n$ tiene la propiedad: $$\left(\frac{-1}{p}\right)=1,\tag{1}$$ desde $(1)$ es una consecuencia de la $a^2+b^2\equiv 0\pmod{p}$. Sin embargo, $(1)$ es equivalente a $$ p\equiv 1\pmod{4},\tag{2}$$ desde el símbolo de Legendre $\left(\frac{-1}{p}\right)$ es igual a $(-1)^{\frac{p-1}{2}}$.

Ahora es posible demostrar que el primer $\equiv 1\pmod{4}$ es la suma de dos coprime plazas - véase, por ejemplo, esta pregunta similar en el que me demostró que cada prime $p\equiv 1\pmod{3}$ está representado por la forma cuadrática $a^2+3b^2$ a través de Fermat descenso - y dado que los números representados por $a^2+b^2$ son una semigroup, debido a la identidad de Lagrange: $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\tag{3},$$ tenemos que cada divisor de $n$ está representado por la forma cuadrática $a^2+b^2$. Observe que $(3)$ es sólo equivalente a la multiplicativity de la norma en el anillo de $\mathbb{Z}[i]$ (los enteros de gauss).