Encontrar las necesarias y suficientes condiciones en $A$ tal que $\|T(\vec{x})\|=|\det A|\cdot\|\vec{x}\|$ % todos $\vec{x}$.

Question

Considerar el % de asignación $T:\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}^n$definidas en $T(\vec{x})=A\vec{x}$ $A$ dónde está una matriz de #% de #% %. Encontrar las necesarias y suficientes condiciones en $n\times n$ tal que $A$ % todos $\|T(\vec{x})\|=|\det A|\cdot\|\vec{x}\|$. Aquí $\vec{x}$ denota la norma.

Answer 1

Sugerencia: Si $\det A=0$, entonces todo es evidente. Considerar lo contrario $S=|\det A|^{-1}T$. Es norma, conservando por lo tanto es

Operador unitario

Así que tiene las siguientes igualdades

$SS^T=S^TS=I$

Y usted les puede reescribir en términos de $T$.

Answer 2

Se cumple con la condición iff $T=0$ (es decir, $A=0$) o $T$ es unitaria (es decir, $A$ es unitaria).

Si $T=0$ o $T$ es unitaria, es obvio que la condición se cumple.

Si $\det A =0 $, entonces claramente $T=0$, así que supongo $\det A \neq 0$. A continuación, $U = \frac{1}{\det A} A$ es un operador unitario. Si $\lambda_1,...,\lambda_n$ son los autovalores de a $A$, entonces los autovalores de a$U$$\frac{\lambda_k}{\lambda_1 \cdots \lambda_n}$, y todos tienen el módulo de $1$. De ello se desprende que $|\lambda_k|$ es una constante, y de esto se sigue que $|\lambda_k|=1$. Desde $\det A = \lambda_1 \cdots \lambda_n$, $|\det A| =1$ y de ello se sigue que $A= (\det A) U$ es unitaria.

Answer 3

La reformulación de la (Euclidiana) norma de identidad:

$$ ||Ax||^2 = det(A)^2 ||x||^2 \;\;\; (*) $$

para todos los $x \in \mathbb{R}^n$. Desde $det(A)^2$ es constante (independiente de $x$), la familiaridad con Rayleigh cocientes , podría llevar a la conclusión de que la $A^T A$ ha autovalor $det(A)^2$ (geométrica) de la multiplicidad $n$.

Pero podemos probar a$A^T A = det(A)^2 I$, con un par de breves cálculos.

Deje $e_i$ ser el estándar de la base de vectores de $\mathbb{R}^n$ cuyas $i^{th}$ componente es $1$. La diagonal de la entrada $(A^T A)_{ii} = e_i^T (A^T A)e_i$ luego $det(A)^2$:

$$ ||Ae_i||^2 = det(A)^2 ||e_i||^2 = det(A)^2 $$

Queda por mostrar cualquiera de las entradas fuera de la diagonal de a $A^T A$ son cero. Supongamos $i \neq j$. Por un lado:

$$||A(e_i+e_j)||^2 = det(A)^2 ||e_i+e_j||^2 = 2 det(A)^2 $$

Por otro lado la expansión de la "producto interior" formulario:

$$ (A(e_i+e_j))^T A(e_i+e_j) = e_i^T(A^T A)e_i + 2 e_i^T(A^T A)e_j + e_j^T(A^T A)e_j $$

$$ ||A(e_i+e_j)||^2 = 2 det(A)^2 + 2 (A^T A)_{ij} $$

lo que implica que $(A^T A)_{ij}$ es cero. $\; \therefore \; A^T A = det(A)^2 I$ .

Tomando determinantes de ambos lados:

$$ det(A)^2 = det(A)^{2n} $$

Si la dimensión de $n=1$ esto no coloque ninguna restricción en $A$, y de hecho cada "transformación lineal" $T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisface la norma de identidad $(*)$.

Pero si $n \gt 1$ esto implica $det(A)^2 = 0$ o $1$, resp. que $A$ es cero o ortogonales (desde $A^T A = I$).

Lo contrario es fácil de ver, que la norma de identidad $(*)$ mantiene si $A$ es cero o ortogonales.