Prueba de límite usando prueba de razón de

Question

He estado tratando de demostrar que el límite:

$$\lim_{k\to\infty} \frac{k^n}{2^k} = 0$$ para cada una de las $n\in\mathbb{N}$.

Yo era capaz de hacer otra prueba similar, específicamente $$\lim_{k\to\infty} \frac{k}{2^k} = 0$$ mediante la prueba de razón.

Para este problema, pienso que debería estar haciendo la misma cosa, pero me quedo atascado en la última parte.

Comenzando con la prueba de razón de las secuencias:

Para una secuencia $(a_j)$ con las propiedades de $r<1, K\in\mathbb{N}$, e $j\geq K \implies \left\lvert\frac{a_{j+1}}{a_j}\right\rvert\leq r$, es cierto que $a_j\rightarrow0$$j\rightarrow 0$.

Para mi prueba, me inicio con:

$$\left\lvert\frac{a_{k+1}}{a_k}\right\rvert = \frac{(k+1)^n}{k^n}\frac{2^k}{2^{k+1}}=\frac{1}{2}\left(\frac{k+1}{k}\right)^n$$

Ahora, si yo podría mostrar que $\left(\frac{k+1}{k}\right)^n<2$, entonces puedo completar la prueba mostrando que la relación es menor que 1 para todo k mayor que un cierto valor. A mí me parece que $k\geq n+1$, pero no sé cómo mostrar esta última parte! En mi curso de análisis, aún no hemos definido los números reales, de lo contrario no sería capaz de utilizar el $n^{th}$ raíz de 2 a empezar.

Agradecería cualquier idea! Si existe una manera más fácil de demostrar que la prueba de razón, sería bueno saber acerca de eso.

Answer 1

Como alternativa, puede escribir, como $k \to +\infty$, \ln \left $$ (\frac {k ^ n} {2 ^ k} \right)=\ln \left(k^n\right)-\ln \left(2^k\right) = n\times \ln k-k \times \ln 2 = k\left (n\:\frac {\ln k} {k}-\ln 2\right) \to + \infty\times (-\ln 2) $$ así $ \ln \left(\frac{k^n}{2^k} \ \to a la derecha)-\infty $$ y \frac{k^n}{2^k $$} \to 0. $$

Answer 2

De hecho, puede usted probar que la sucesión converge a $0$ a través de la prueba de razón, porque en este caso la serie $$ \sum_{k\ge0}\frac{k^n}{2^k} $$ converge y su término general que se tiene de límite de $0$. Su estrategia es buena: $$ \frac{(k+1)^n}{2^{k+1}}\bigg/\frac{k^n}{2^k}= \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{\!n} $$ Desde $x\mapsto x^n$ es continua y $$ \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)=1 $$ también tenemos $$ \lim_{k\to\infty}\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{\!n}= \frac{1}{2}<1 $$

Una estrategia diferente es escribir $s=\sqrt[n]{2}$, por lo que usted tiene que calcular $$ \lim_{k\to\infty}\left(\frac{k}{s^k}\right)^n $$ y el mismo argumento como antes muestra basta con mostrar que $$ \lim_{k\to\infty}\frac{k}{s^k}=0 $$ Si se considera el límite de la función $f(x)=x/s^x$ puede aplicar l'Hôpital porque $$ \lim_{x\to\infty}^x=\lim_{x\to\infty}e^{x\log s}=\infty $$ al $s>1$; entonces usted tiene $$ \lim_{x\to\infty}\frac{x}{s^x}= \lim_{x\to\infty}\frac{1}{s^x\log s}=0 $$

Answer 3

Que no una serie así que realmente no se puede utilizar el cociente de prueba pero si tratar como uno y probar que la serie converge entonces significa el límite de la función es 0. Teorema si s_n converge entonces lim n-> inf a_n = 0

Ahora a demostrarlo solo decir Lim n-> inf (k+1)^n/2^(k+1) * 2 ^ k/k ^ n que simplifica a 1/2 lim n-> inf (k + 1) ^ n/k ^ n que es igual a 1/2 ya que es menos de 1 podemos decir que la serie S_n = k ^ n/2 ^ k converge y así el equeals límite cero