El triplete pitagórico significa

Question

Por pura curiosidad, ¿existen dos enteros positivos cuya media aritmética ($A $), media geométrica ($G $) y media armónica ($H $) constituyen un trío pitagórico?
Es decir, $A $, $G $ y $H $ son enteros positivos, y $H^2 + G^2 = A^2$.

Answer 1

Permitimos que $a$ y $b$ sean enteros positivos con $a \ge b$; entonces estás preguntando si alguna vez podemos tener

$$\left(\frac{2}{\frac 1 a + \frac 1 b}\right)^2 + \Big(\sqrt{ab}\Big)^2 = \left(\frac{a + b}{2}\right)^2$$

o, tras simplificar un poco,

$$\frac{4a^2 b^2}{(a+b)^2} + ab = \frac{(a + b)^2}{4}$$

Reorganizando,

$$\frac{4a^2 b^2}{(a + b)^2} = \frac{(a - b)^2}{4}$$

Tomando raíces cuadradas,

$$\frac{2ab}{a + b} = \frac{a - b}{2}$$

$$4ab = a^2 - b^2$$

Ahora mostraremos que no existen soluciones enteras positivas para esto. Supongamos que sí existe; dado que esto es homogéneo, podemos cancelar cualquier factor común en $a$ y $b$, por lo que son primos entre sí. Claramente $a$ y $b$ deben tener la misma paridad, por lo que ambos son impares.

Agreguemos $2b^2$ a ambos lados, lo que nos lleva a

$$4ab + 2b^2 = a^2 + b^2$$

$$2ab + 2b^2 = (a - b)^2$$

$$2b (a + b) = (a - b)^2$$

Aquí tenemos la contradicción deseada. Tenemos que $b | (a - b)^2$, y al expandir, esto lleva a $b | a^2$. Como $b$ y $a$ son primos entre sí, esto obliga a $b = 1$, de modo que $4a = a^2 - 1$. Es fácil verificar que esto no tiene soluciones en los enteros, y hemos terminado.

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De hecho, es más simple simplemente agregar $b^2$ a ambos lados, resultando en $$a^2 = b(4ab + b)$$

por lo tanto, $b | a^2$ y así sucesivamente.