Teniendo una potencia de un polinomio para que sea simétrica

Question

Supongamos que tengo un polinomio multivariable no simétricos en las variables de $n$$P(x_1,x_2,...,x_n)$. Por ejemplo podría ser el $P$ $x_1^2+x_2$ o $x_1-x_2$

¿Condiciones en que será un % de la energía $m$$P$(que es $P(x_1,x_2,...,x_n)^m$) un polinomio simétrico en $x_1,x_2,...,x_n$?

Por ejemplo parece que no hay ningún tal $m$ en el caso de $x_1^2+x_2$.

Pero no hay tal un $m$en el caso de $x_1-x_2$ % desde $(x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2$.

Answer 1

Primero de todo: esto ocurrirá si y sólo si cada permutación de las variables multiplica $P$ por algunos raíz de la unidad.

Si $P\circ\sigma = \zeta_\sigma P$ por cada permutación $\sigma$, $P^n$ será simétrico, donde $n$ es el mínimo común múltiplo de los órdenes de la $\zeta_\sigma$, debido a $P^n \circ \sigma = (P\circ \sigma)^n = (\zeta_\sigma P)^n = \zeta_\sigma^n P^n = P^n$.

Por otro lado, si $P^n$ es simétrica, entonces, para cualquier permutación $\sigma$,$(P\circ \sigma)^n = P^n$, lo $P\circ \sigma$ $P$ tienen el mismo irreductible factores con la misma multiplicidad, por lo tanto $P\circ \sigma = aP$ para algunas constantes $a$$a^n = 1$.

Pero esto no puede suceder si el grupo de simetría está actuando!-desde que un grupo de simetría es generado por transposiciones, podemos tener en la mayoría orden de $2$ comportamiento. Y desde dos transposiciones generar una simetría de orden $3$, sólo hay dos posibilidades: o $P$ es simétrica ya, o es antisimétrica en cada par de variables (por ejemplo,$(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$).

Estos ejemplos son bastante interesantes, en realidad-son Vandermonde determinantes, que escoge el signo de la actuación de permutación. Específicamente, el antisimétrica polinomios son aquellos que son el producto de $\prod_{i<j} (x_i -x_j)$ cualquier polinomio simétrico.

Si usted requiere sólo cíclico de simetría, entonces usted va a conseguir interesantes ejemplos de cada grado, sin embargo, por ejemplo, $(a+ib-c-id)^4$ es invariante bajo la transformación de $a\mapsto b\mapsto c\mapsto d\mapsto a$.