Transformación de Laplace $y''+2y'+2y=3\sin x+\cos x$

Question

Dadas $$y''+2y'+2y=3\sin x+\cos x$ $

Transformar a imagen región $$Y(s)(s^2+2s+2)=\frac{3}{s^2+1}+\frac{s}{s^2+1}-s-2$ $ $$Y(s)((s^2+2s+1)+1)=\frac{3}{s^2+1}+\frac{s}{s^2+1}-s-2$ $ $$Y(s)((s+1)^2+1)=\frac{3}{s^2+1}+\frac{s}{s^2+1}-s-2$ $ $$Y(s)=\frac{3}{(s^2+1)((s+1)^2+1)}+\frac{s}{(s^2+1)((s+1)^2+1)}-\frac{s}{((s+1)^2+1)}-\frac{2}{((s+1)^2+1)}$ $

Ahora necesito el inverso del %#% $ de #% para continuar. No se puede encontrar en cualquier lugar

Answer 1

Indirecta: $\mathscr{L^{-1}}\left(\frac{b}{(s-a)^2+b^2}\right) = e^{at}\sin{(bt)}$; en su caso, $a=-1$ $b=1$. Usted puede probar en la definición integral de la transformación de Laplace. Más información aquí.

Otra sugerencia:, puedes encontrar el inverso del $\frac{s}{((s+1)^2+1)}$ por el uso inteligente de la $\mathscr{L^{-1}}$ $e^{at}\cos{(bt)}$ en el enlace de arriba. (Es decir $s=s+0=s+(1-1)$)