Qué $\sin(x)=y$ tiene una solución en $\mathbb{Q}$ lado $x=y=0$

Question

Es allí una manera de mostrar, que la única solución de $$\sin(x)=y$$ es$x=y=0$$x,y\in \mathbb{Q}$.

Estoy seaching una forma de demostrar que con la de cosas que se aprenden en álgebra lineal y análisis 1+2 (con el conocimiento de un segundo semestre de estudiante).

Answer 1

Lo siento por el anterior spam. Voy a probar para $\cos$, el coseno de cualquiera de los números racionales, excepto para 0 no puede obtener los números racionales.

Mediante el polinomio de argumento, sólo estamos obligados a tener que probar para los números enteros.

Supongamos que $m\in\mathbb{N}$, $\cos(m)\in\mathbb{Q}$.

Para cualquier fijo el primer número $p>m$, considere el polinomio $x\in(0,m)$ $$f(x) = \frac{(x-m)^{2p}(m^2-(x-m)^2)^{p-1}}{(p-1)!}$$

Y $$F(x) = \sum_{n = 0}^{2p-1} (-1)^{n+1}f^{2n}(x)$$ Que satisface $$(F'(x)\sin(x)-F(x)\cos(x))' = F''(x)\sin(x) +F(x)\sin(x) = f(x)\sin(x)$$ debido a que los otros términos cancelado. $$\int_0^mf(x)\sin(x)dx = F'(m)\sin(m)-F(m)\cos(m)+F(0)$$ Considere la posibilidad de $f$ es un polinomio de $(x-m)^2$, lo $F'(m) = 0$, y podemos ver que $$f(m-x) = x^{2p}(m^2-x^2)^{p-1}/(p-1)!$$ De computación, $p|f^{(l)}(m)$ por cada $l$. Eso significa que $F(m)$ es un múltiplo de a$p$, por definición, de $F$, decir $pM$.

Si $\cos(m) = s/t$, luego $$t\int_0^m f(x)\sin(x)dx = -spM+tN$$ es un número entero, Mientras $$f\le \frac{m^{4p-2}}{(p-1)!} $$ así $$t\int_0^mf(x)\sin(x)dx\le t\frac{m^{4p-2}}{(p-1)!}\cdot m <1 $$ al $p$ es lo suficientemente grande. Contradicción de que es un número entero.

Como resultado de esto, $\sin$ debe cumplir también con este.

Answer 2

Uno puede golpear con una muy pesado teorema, la Lindemann-Weierstrass teorema. Es una consecuencia de esto que si $x$ es distinto de cero algebraicas, a continuación, $\sin x$ es trascendental.

Ivan Niven, en su libro de los números Racionales e Irracionales, tiene una buena prueba, "elemental", pero no del todo simple, el hecho de que el seno de un no-cero racional es irracional. Que la prueba no hacer ningún uso real de álgebra lineal.