Estado BCS con número de partículas bien definido - ¿interpretación?

Question

Es de conocimiento común (y se ha discutido en otras preguntas en este sitio) que el estado de suelo estándar de BCS $ \left|\Psi_{BCS}\right\rangle = \prod_k \left( u_k + v_k c_{k\uparrow}^{\dagger} c_{-k\downarrow}^{\dagger}\right) \left|0\right\rangle$ no tiene un número de partículas bien definido y que esto no importa en los superconductores a granel porque la desviación estándar es $\Delta N \propto \sqrt{N}$ y por lo tanto irrelevante para $N\rightarrow \infty$ .

Pero también he leído que se puede llegar a un estado BCS con un número de partículas bien definido definiendo primero

$$\left|\Psi_{BCS}(\phi)\right\rangle = \left( |u_k| + e^{i\phi} |v_k| c_{k\uparrow}^{\dagger} c_{-k\downarrow}^{\dagger}\right) \left|0\right\rangle $$

y luego "integrar" la fase según

$$\left|\Psi_{BCS}(N)\right\rangle = \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\phi\, e^{-iN\phi/2} \left|\Psi_{BCS}(\phi)\right\rangle \,\, ,$$ que te da un estado BCS con precisamente N partículas a costa de tener una fase completamente mal definida .

Si eso es cierto, entonces seguramente este es el estado "físico" real de un superconductor y el estado BCS original se utiliza simplemente por conveniencia.

Pero eso, a su vez, haría que la fase bien definida del estado superconductor fuera un mero artefacto matemático cuando todos los demás libros de texto lo destacan como algo muy fundamental (y si no recuerdo mal, también es muy importante para cosas como el efecto Josephson).

Entonces, ¿alguien puede señalar el error en la lógica anterior?

Answer 1

Lo importante es que $\left[N,\phi\right]=i$ con $N$ el número de electrones et $\phi$ la fase. Así que puede aplicar el principio de incertidumbre de Heisenberg, del que dio las dos situaciones extremas de 1) o bien perfectamente definido $N$ y completamente desconocido $\phi$ o 2) perfectamente definido $\phi$ y completamente desconocido $N$ . En general variando un poco la fase $\phi$ dejar un poco de electrón $N$ que fluye, que es la situación básica en los sistemas mesoscópicos (por ejemplo, las uniones Josephson).

Conceptualmente, aislar una parte de un superconductor (o cualquier sistema macroscópico que se comporte como la mecánica cuántica), si se puede contar el número de electrones con precisión, no hay corriente y por lo tanto no hay diferencia de fase, por lo que $\phi$ no es un buen número cuántico. Si se puede definir una corriente (y así fijar una fase diferencia ) no puedes contar los electrones en tu volumen de control del superconductor.

Nótese que no es tan obvio demostrar la relación de conmutación $\left[N,\phi\right]=i$ en el caso general, y las discusiones que utilizan esta relación suelen ser sutiles. Para un oscilador armónico la relación es fácil de demostrar, utilizando los estados coherentes, véase por ejemplo

• http://hitoshi.berkeley.edu/221a/coherentstate.pdf [archivo PDF directamente]

o el libro de Nagaosa sobre la teoría cuántica de campos en la materia condensada (o un título así).