Número de extensiones finitas de $p$ -campo numérico adádico de grado determinado $n$

Question

Sea $p$ sea un número primo, $\mathbb{Q}_p$ el $p$ -campo numérico. Fijamos un cierre algebraico $\Omega$ de $\mathbb{Q}_p$ . Cualquier extensión algebraica de $\mathbb{Q}_p$ se supone que es un subcampo de $\Omega$ . Sea $n$ sea un número entero racional positivo.

Es el número de extensiones finitas de $\mathbb{Q}_p$ de grado $n$ ¿Finito? En caso afirmativo, ¿existe un algoritmo para construirlas todas?

La motivación es la siguiente. Sea $p$ sea un número primo impar. He llegado al siguiente resultado utilizando el lema de Hensel.

El número de extensiones cuadráticas de $\mathbb{Q}_p$ es $3$ . Son $\mathbb{Q}_p(\sqrt a)$ , $\mathbb{Q}_p(\sqrt{ap})$ , $\mathbb{Q}_p(\sqrt p)$ , donde $a$ es un entero racional cuadrático no residuo mod $p$ . $\mathbb{Q}_p(\sqrt a)$ (resp. $\mathbb{Q}_p(\sqrt{ap})$ ) no depende de la elección de $a$ .

Answer 1

Tal vez la mejor manera de contar el cuadrático extensiones de cualquier $p$ -campo ácrata $K$ es utilizar la teoría de Kummer, que dice que cada extensión de este tipo está descrita por un elemento no trivial de $K^*/{K^*}^2$ . En general, la teoría de Kummer permite contar las extensiones cíclicas de $K$ grado $n$ siempre que la característica no divida $n$ y el $n$ -raíces de la unidad están en $K$ . Así que se pueden contar las extensiones cíclicas cúbicas de $\Bbb Q_p$ cuando $p\equiv1\pmod6$ .