Teorema de Gauss-Bonnet en el libro de Hawking/Ellis

Question

En la página 336 de Hawking, Ellis: La estructura a gran escala del espacio-tiempo el teorema de Gauss-Bonnet se expresa como

$$\int_H \hat{R}\ d\hat{S} = 2\pi \chi(H) \qquad (1)$$

con

$$\hat{R} = R_{abcd} \hat{h}^{ac} \hat{h}^{bd}$$

y la métrica inducida en el horizonte $\hat{h}_{ab}$ ,

$$\hat{h}_{ab} = g_{ab} + \ell_a n_b + n_a \ell_b \ ,$$

donde $\ell^a$ y $n^a$ es un par de vectores nulos dirigidos al futuro en el horizonte.

¿Falta algún factor de 2 en el lado derecho de la ecuación (1)?

La (bidimensional) Teorema de Gauss-Bonnet en la literatura se suele indicar utilizando la "curvatura gaussiana" $K = R/2$ Por eso sospecho en este "factor oculto" (compárese, por ejemplo, con Heusler: Teoremas de unicidad de los agujeros negros , ecuaciones (6.23)--(6.26)).

Answer 1

Sí, el factor $2\pi$ en la ecuación 1 debería ser $4\pi$ - si la integral de área se normaliza de forma convencional. Por ejemplo, para una esfera, la curvatura escalar es $R=2/a^2$ . Cuando se multiplica por el $4\pi a^2$ superficie, obtenemos $8\pi$ que es $4\pi$ veces el carácter de Euler de la esfera, $\chi=2$ . Bueno, al menos espero que estas consideraciones no se vean afectadas por el uso de la métrica $\hat h$ en lugar de $g$ .