Artin ' s prueba del orden del $\mathbb Z[i]/(a+bi)$

Question

Como Ben sugerido en mi pregunta anterior sobre el tema, he mirado Artin prueba de que el $\left|\cdot\right|^2$ es una "función de tamaño", que hace que $\mathbb Z [i]$ en un dominio Euclídeo. A la cita de la página 398:

Dividimos el número complejo b: $b=aw$ donde $w=x+yi$ un número complejo, no necesariamente un entero de Gauss. La elegimos el más cercano de Gauss entero punto de $(m,n)$$(x,y)$, escribir $x=m+x_0,y=n+y_0$, donde m,n son enteros y $x_0,y_0$ números reales tales que a $-1/2\leq x_0,y_0<1/2$. A continuación, $(m+ni)a$ es el punto requerido de $Ra$. Para, $\left|x_0 + y_0i\right|^2<1/2$$|b-(m+ni)a|^2=|a(x_0+y_0i)|^2<\frac{1}{2}|a|^2$.

Tengo dos preguntas:

1. Supongo que él está usando la notación $\left|a+bi\right|=\sqrt{a^2 + b^2}$. Si es así, parece como $\left|x_0 + y_0i\right|^2<1/2$ no es siempre cierto, ya que $\left|(-1/2)+(-1/2)i\right|^2=1/2$
2. Él nunca utiliza la identidad $i^2=-1$, así que parece que esta prueba podría ser ampliado a todos los anillos de $\mathbb Z[x]/(x^2 + a)$, o de hecho cualquier cosa que tiene un vectorspace estructura similar a como $\mathbb Z^2$. Pero yo recuerdo haber oído que $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ no Euclidiana - ¿por qué esta prueba de errores para $x^2 = -5$?

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EDIT: $\sqrt{-5}\approx 2.2i$, de modo que podemos escribir, por ejemplo,$3i \approx 1.3\sqrt{-5}$. Por mi entendimiento, $y_0=.3$ aquí y en la norma $|0+.3|=0^2+.3^2$ es menor que uno. Además, todos los $x_0,y_0$ es de menos de $1/2$, por lo que esta norma va a ser siempre menor que 1, que es todo lo que necesitamos.

¿Por qué no este espectáculo que $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ es la Euclídea?

Answer 1

Cualquiera que sea el normalizaciones, el requisito de "Euclidiana" es que el resto es estrictamente menor que el divisor. Así, en el párrafo resaltado anteriormente, la necesaria conclusión es, simplemente, que la norma de la leftoever ser estrictamente menor que el divisor, no de la mitad del tamaño del divisor.

En el caso de $\mathbb Z[\sqrt{5}]$, el análogo de sobra $a+b\sqrt{5}$ ha $|a|,|b|\le 1/2$, pero la costumbre complejo valor absoluto, cuadrado o no, es $(1/2)^2+5(1/2)^2=6/4>1$. Tomando una raíz cuadrada o una cuadratura o no... no afecta a la cuestión crucial de si es $<1$ o no.

Algunos ejemplos de cálculos sobre Euclidiana-dad de los anillos de alg enteros están en mis notas , y muchos otros lugares en el internet, estoy seguro.

Edit: en respuesta a otras consultas... en $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$, las sobras se $a+b\sqrt{-5}$$|a|,|b|\le 1/2$. La norma (cuadrado) es $a^2+5b^2\le (1/4)+5(1/4)=6/4>1$. En el "EDITAR" en la consulta, sí, hay un ejemplo particular, donde la norma es $<1$. Ok, pero eso no implica que todos los sobrantes se $<1$. Sí, todos los $x_0,y_0$ son en la mayoría de las $1/2$ en tamaño, pero sin la "5"! $|x_0+y_0\sqrt{-5}|^2=x_0^2+5y_0^2$.