¿Qué es una función zeta?

Question

En mis lecturas, he llegado a través de una amplia variedad de objetos llamados zeta funciones. Por ejemplo, el Ihara zeta función, Igusa local de la función zeta, Hasse-Weil zeta función, etc. Mi pregunta es simple: ¿Qué hace que algo zeta función? Hay un par de cosas que los zeta funciones que he visto tienen en común. Por ejemplo: generalmente se define como una especie de infinito suma, tener un producto de Euler y funcional de la ecuación. También, la racionalidad de ciertas funciones zeta parece ser una idea importante. Es allí cualquier manera de entender esto de una "gran imagen" punto de vista?