Que $X_i \sim U(0,1)$ $i = 1,\dots,n$ y que $X = \max(X_1,\dots,X_n)$. ¿Hay una manera combinatoria de ver $$\mathbb E(X) = \frac{n}{n+1}$ $ y además el mínimo? Intuitivamente esto es mi suposición para la expectativa ya que, "en promedio," el experimento resultados se distribuirán uniformemente en $[0,1]$. Esto por supuesto puede ser verificado por %#% $ #%
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
palehorse
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Esto podría no ser lo que usted está después, pero...
Deje $(Y_1,Y_2, \cdots, Y_n)=(X_{(1)},X_{(2)}, \cdots, X_{(n)})$ ser el clasificado (ordenada) de las variables. Deje $(Z_0,Z_1, \cdots Z_n)$ las diferencias : $Z_i=Y_{i+1}-Y_i$ ( $Y_0=0$ $Y_{n+1}=1$ ); por lo tanto $Z_i\ge 0$$\sum\limits_{i=0}^n Z_i=1$.
Se puede demostrar que el $Z_i$ tienen la misma distribución en $n+1$ i.yo.d. exponencial de las variables de $W_i$ condicionado a $V_n=1$ donde $V_n=\sum\limits_{i=0}^n W_i=1$.
Una vez que aceptamos esto, entonces tenemos $$E(Z_i)=E(W_i\mid V_n=1)=\frac{1}{n+1}$$
Así $$E(Y_1)=E(Z_1)=\frac{1}{n+1}$$ y, para cada $1\le k\le n$, $$E(Y_k)=E(Z_0 + \cdots + Z_{k-1})= \frac{k}{n+1}$$ en particular, $$E(Y_{n})=E(Z_0 + \cdots + Z_{n-1})= \frac{n}{n+1}$$
