Límite a medida que n tiende a infinito de $\frac{\sum_{i=1}^{n} \frac{i^2}{(i+1)\ln(i+1)}}{n^2}$

Question

Llevo un tiempo intentando calcular el siguiente límite, creo que es $0$ pero no encuentro la forma de probarlo...

$$\lim_{n \to \infty}\frac{\sum_{i=1}^{n} \frac{i^2}{(i+1)\ln(i+1)}}{n^2}$$

He intentado compararlo, he intentado simplificar la expresión de la suma hasta el infinito, pero no ha salido nada convincente... ¿Podríais darme una pista? ¡¡¡Gracias!!!

Answer 1

Dejemos que $x_n=\frac{1}{2\log2}+\frac{4}{3\log3}+\cdots+\frac{n^2}{n\log n}$

$x_{n-1}=\frac{1}{2\log2}+\frac{4}{3\log3}+\cdots+\frac{(n-1)^2}{(n-1)\log (n-1)}$

$y_n=n^2$

Por Stolz-Cesaro

$\lim_{n\to \infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\lim_{n\to \infty}\frac{n^2/n\log n}{n^2-(n-1)^2}=\lim_{n\to \infty}\frac{n}{(2n-1)\log n}\le \lim_{n\to \infty}\frac{1}{2n-1}=0$ desde $\log n<n$ para todos $n$

Por lo tanto, por comparación, el límite es $0$ .

Answer 2

Set $m=\lfloor\sqrt n\rfloor$ . Desde $\frac i{i+1}<1$ el numerador es menor que \begin{align*} \sum_{i=1}^m & \frac{i}{\ln(i+1)} + \sum_{i=m+1}^n \frac{i}{\ln(i+1)} \\ &\le \sum_{i=1}^m \frac{m}{\ln(1+1)} + \sum_{i=m+1}^n \frac{n}{\ln(m+1)} \\ &= \frac{m^2}{\ln2} + \frac{n^2}{\ln(m+1)} \\ &\le \frac n{\ln2} + \frac{n^2}{\ln\sqrt n} = \frac n{\ln2} + \frac{2n^2}{\ln n}. \end{align*} Esto demuestra que su límite es igual a $0$ .