La dislexia en las acciones de grupo de $SL_2$ sobre formas cúbicas binarias

Question

El grupo $SL_2$ (digamos, $SL_2(\mathbb{C})$ pero podríamos tomar $SL_2$ de cualquier otra cosa, o probablemente considere $SL_2$ como esquema de grupo) actúa sobre formas cúbicas binarias. (O binario $n$ formas -icas en general). ¿Cuál es la forma correcta de la acción?

Permítanme dar dos respuestas diferentes a esto, las cuales he visto en la literatura.

(1) Considerar las formas cúbicas binarias como homomorfismos $\mathbb{A}^2 \rightarrow \mathbb{A}$ , donde $\mathbb{A}$ es un espacio afín (es decir, sólo $\mathbb{C}$ ). Podemos definir una acción de $SL_2$ en $\mathbb{A}^2$ de la siguiente manera: Escribe $g \in SL_2$ como una matriz, $v \in \mathbb{A}^2$ como un vector columna, y entonces la acción viene dada simplemente por $g v$ (multiplicación matricial habitual). La acción sobre $\mathbb{A}^1$ es trivial. Con estas convenciones, para una forma cúbica binaria $f$ , escriba $(gf)(v) = f(g^{-1} v)$ . Este parece ser el punto de vista de la teoría de la representación; en cualquier caso, es coherente con la p. 4 de Fulton-Harris y esta definición se da en la p. 14 de Olver Teoría invariante clásica .

(2) Utilice la definición $(gf)(v) = f(v g)$ donde esta vez escribimos $v$ como un vector de filas, de modo que $v g$ está bien definida. Esta definición es bastante común y aparece, por ejemplo, en el artículo de Bhargava, Shankar y Tsimerman ici entre otros muchos lugares (¡incluyendo artículos de los que soy coautor!)

Estas definiciones son equivalentes (ninguna es "incorrecta") pero no son lo mismo. La definición (1) me parece "correcta", mientras que parece que el objetivo de (2) es identificar las formas cúbicas binarias con $\mathbb{A}^4$ en lugar de su dual. Nos gustaría escribir $(gf)(v) = f(g(v))$ pero esto no funciona por razones que se explican más o menos en (1).

Un par de preguntas: En primer lugar, ¿es correcta mi explicación anterior?

Si es así, ¿hay una buena explicación intelectual de (2)? De algún modo, me parece una solución muy poco convincente. Creo que la notación (2) es mucho más natural que (1) en el artículo que he enlazado (no estoy tratando de discutir su elección de notación), pero se siente como una trampa un poco, y es confuso que la misma acción de grupo se define de diferentes maneras en la literatura.

¿Existe una perspectiva mejor que la que he ofrecido, o simplemente tengo que sonreír y aguantar?

Gracias.

Answer 1

Quizá convenga hacer algunas observaciones generales. En primer lugar, dejemos que $M$ ser un monoide. Recordemos que una acción izquierda de $M$ es un conjunto $S$ junto con un mapa $M \times S \to S$ satisfaciendo las condiciones habituales de asociatividad. Equivalentemente, es un conjunto $S$ junto con un homomorfismo $M \to \text{End}(S)$ de los monoides. Una acción correcta de $M$ es un conjunto $S$ junto con un mapa $S \times M \to S$ que satisface las condiciones habituales de asociatividad. Equivalentemente, es un conjunto $S$ junto con un homomorfismo $M^{op} \to \text{End}(S)$ , donde $M^{op}$ es el monoide opuesto (el monoide con el mismo conjunto subyacente que $M$ pero cuya multiplicación es en el otro sentido) de $M$ .

En general $M$ y $M^{op}$ no son isomórficos, por lo que las acciones de la izquierda y la derecha son realmente diferentes y deben distinguirse cuidadosamente. Además, si $S$ es una acción de la izquierda y $T$ es otro conjunto, entonces el conjunto de funciones $\text{Hom}(S, T)$ hereda una acción de derecho a través de

$$m : f(s) \mapsto f(ms)$$

y no hay manera de convertir esto en una acción de la izquierda. (Los teóricos de la categoría deberían sentirse libres de sustituir "monoide", "acción izquierda" y "acción derecha" arriba por "categoría", "functor" y "functor contravariante").

Si $M$ es un grupo $G$ entonces viene equipado con un isomorfismo canónico a su opuesto, a saber $g \mapsto g^{-1}$ . Esto da una forma canónica de convertir todas las acciones de la derecha en acciones de la izquierda, que es lo que hacemos cuando pasamos de una representación $V$ de un grupo $G$ a la doble representación $V^{\ast}$ (que para un monoide es una acción derecha si actuó desde la izquierda sobre $V$ ).

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Algunos detalles. Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial ("vectores columna") y $G$ un grupo en el que $V$ actos. Entonces $G$ actúa sobre el espacio de funciones polinómicas en $V$ que puede identificarse con el álgebra simétrica $S(V^{\ast})$ (ya que $V^{\ast}$ corresponde a polinomios lineales en $V$ ). Esto da la primera acción.

$G$ también actúa sobre $V^{\ast}$ ("vectores fila"), que induce una acción sobre el espacio de funciones polinómicas sobre $V^{\ast}$ que puede identificarse con el álgebra simétrica $S(V)$ . Esto da la segunda acción. (Debe escribirse como $v(g^{-1})^{-1}$ porque implícitamente estás tomando el dual dos veces).

Las dos acciones son isomorfas en este caso porque $V$ es autodual. En efecto, si $V$ es un $2$ -espacio vectorial sobre un campo $k$ entonces $G$ se encuentra en $\text{SL}_2(k)$ si y sólo si preserva el producto exterior $V \times V \to \Lambda^2(V)$ y elegir una identificación de $\Lambda^2(V)$ con el campo subyacente da lugar a un $G$ -equivariante doble emparejamiento $V \times V \to k$ .