¿Es divisible por el polinomio $x^4$ este producto y la suma de integrales?

Question

Problema:

Vamos $A(t)$, $B(t)$, $C(t)$ y $D(t)$ ser cualquier polinomios con real los coeficientes. Muestran que,

$F(x)$=

es divisible por $x^4$.

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Proff:

Antes de todo, gracias LutzL para su explicación clara, aquí voy a poner todas las piezas juntas, para tener una mejor comprensión y para preguntar si tengo que poner algún paso adicional en la prueba de explicar más, (que yo creo que está bien, pero yo nunca estoy seguro). Pongo este símbolo [] para informar de que todo estaba escrito por LutzL ["de LutzL comentarios y respuesta"].

F(X)=

Esta fórmula ['tiene la forma de un producto escalar de dos de los productos cruzados o la de Cauchy-Binet fórmula que dice que (a×c,b×d)=(a,b)·(c,d)−(a,d)·(b,c)']

Y a la derecha, la parte [ 'a la derecha verá la forma de su término, a la izquierda, los componentes son (modulo signos)

dando el producto escalar,

y obtenemos;

Ahora uno tiene que explorar la cancelación de menor orden de los términos. El integrando es un múltiplo de (s−t)^2 ds dt, que ya representa el factor x^4. ]

Y, a continuación, sustituir s=xu , t=xv para conseguir una igualdad de la forma de la integral de

**

El integrando es todavía un polinomio en u, v, x, de modo que la integración se da un polinomio en x como resultado. Como para tener dos diferentes de integración de las variables, permite escribir todo como una integral sobre un cuadrado.

En conclusión, a partir de ** podemos ver que F(X)= (X^4 ) * H(x) , donde H(x) es la integral sobre la plaza. Por lo tanto, F(x) es divisible por x^4.

Pregunta: tengo que explicar, algo más o ya es una prueba válida? De Nuevo: Gracias, LutzL.

Answer 1

Voy a escribir $A(t) = a_0 + a_1t + O(t^2)$ y lo mismo para otros polinomios. \begin{align} \int_0^x A(t)B(t) dt & = \int_0^x \left(a_0b_0 + (a_1b_0 + b_0b_1)t + O(t^2)\right) dt \\ & = a_0b_0x + \frac 12(a_1b_0 + a_0b_1)x^2 + O(x^3) \end{Alinear} por lo tanto,\begin{align} & \left(\int_0^x A(t)B(t)dt\right)\left(\int_0^x C(t)D(t)dt\right) \\ & \quad = a_0b_0c_0d_0x^2 + \frac 12(a_1b_0c_0d_0 + a_0b_1c_0d_0 + a_0b_0c_1d_0 + a_0b_0c_0d_1)x^3 + O(x^4). \end {alinee el} es evidente que permutan $(A, B, C, D)$ no cambia la parte con menores $4$ grados.

Answer 2

Uno puede escribir el doble del término como $$ \int_0^x\int_0^x (A(s) C (t)-C(s) (t)) · (B(s) D (t)-B (t) D(s)) \,dsdt $$ ahora uno tiene que explorar la cancelación de los términos de orden inferior. El integrando es un múltiplo de $(s-t)^2dsdt$, que ya representa el factor $x^4$. Más concretamente, conjunto $ A(s) C (t)-(t) C(s) =(s-t) P (s, t), \\ B(s)D(t)-B(t)D(s)=(s-t)Q(s,t) $$ y luego sustituto $s=xu$, $t=xv$ para obtener una forma igual de la integral de $$ x ^ 4·\int_0 ^ 1\int_0 ^ 1 (u-v) ^ 2· P (ux, vx) · Q (ux vx) \,dudv $$

Answer 3

Una forma es empezar probando para los polinomios monic un término. Que $A(t)=t^a$ y así sucesivamente. Luego pasa a ser la expresión entera y $\int_0^x t^a dt=\frac {t^{a+1}}{a+1}$ $$\left(\frac 1{(a+b+1)(c+d+1)}-\frac 1{(a+d+1)(b+c+1)}\right)x^{a+b+c+d+2}$$ If at least two of $ a,b,c,d$ are positive, the exponent on $x$ is at least $4$. If three of them are zero, the coefficient is zero. In either case we have the desired result. Then show you can multiply any polynomial by a constant and it still works. Now assume it has been proven for the combinations $a_1(t),B(t),C(t),(D(t)$ and $a_2(t),B(t),C(t),(D(t)$. Show it still holds for $(a_1+a_2)(t),B(t),C(t),(D(t)$ por la linealidad de la integral. Ahora argumentan que puede construir integrales de cualquier complejidad necesaria por medidas como esta.