¿Encontrar el límite $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{(1+1/n)^{n^2}e^{-n}}$?

Question

¿Encontrar el límite $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{(1+1/n)^{n^2}e^{-n}}$? He encontrado el límite como $e^{-1/2}$ utilizando la regla de l ' hospital. Creo que cometí un error. Porque el límite parece ser 1. ¿También, podemos encontrar el límite sin L'Hospital la regla?

Answer 1

Que %#% $ #%

$$y=\left(1+\frac1n\right)^{n^2}\cdot e^{-n}$$

$$\implies \ln y=n^2\ln\left(1+\frac1n\right)-n$$

Aplicando la regla L'Hospitals, $$\text{Putting }n=\frac1h, \lim_{n\to\infty}\ln y=\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)-h}{h^2}\text{ which is of the form } \frac00$$$\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)-h}{h^2}=\lim_{h\to0}\frac{\frac1{1+h}-1}{2h}=\lim_{h\to0}\frac{1-(1+h)}{2h(1+h)}=-\frac12 $h\ne0$ as $h\to0$

Alternativamente, usando la expansión de Taylor de $ as $

$\ln(1+x)$$