Para simplificar las cosas, haremos una inducción: Establecer $A_r = \{(x_1, \dots, x_r) \in \mathbb R^r : \forall i \in \{1,\dots, n\}: \vert x_i \vert \leq 1\}$ . Considere la integral $\int_{A_r} 1 \ d\lambda(x_1, \dots, x_r)$ demostraremos por inducción que $$\int_{A_r} 1 \ d\lambda(x_1, \dots, x_r) = 2^r.$$ Para $n = 1$ obtenemos $$\int_{A_1} 1 \ d x_1 = \int_{-1}^1 1\ dx_1 = 2.$$ Ahora bien, que la afirmación sea válida para $r \in \mathbb N$ . Entonces obtenemos para $r + 1$ con Fubini que $$\int_{A_{r+1}} 1 \ d\lambda(x_1, \dots, x_{r+1}) = \int_{-1}^1 \bigg(\int_{A_r} 1 \ d\lambda(x_1, \dots, x_r) \bigg)dx_{r+1} = \int_{-1}^1 2^r\ dx_{r+1} = 2^{r +1}.$$ Ahora vamos a la segunda parte. Dejemos que $k := n - r$ y $B_{k} = \{(x_{r+1}, \dots, x_n) \in \mathbb R^{n-r} : x_{r+1}^2 + x_{r+2}^2 \leq 1, \ldots, x_{n-1}^2 + x_{n}^2 \leq 1 \}$ para incluso $k$ . Ahora demostramos por inducción que $$\int_{B_k} 1 \ d\lambda(x_{r+1}, \dots, x_n) = \pi^{k/2}.$$ Para $k = 2$ obtenemos utilizando coordenadas polares $$ \int_{B_2} 1\ d\lambda(x_{r+1}, x_{r+2}) = \int_0^1 \int_0^{2 \pi} r\ d\varphi dr = \int_0^1 2\pi r\ dr = \pi.$$ Ahora bien, que la afirmación sea válida para $k \in \mathbb N$ incluso. Entonces obtenemos para $k + 2$ con Fubini que \begin {align*} \int_ {B_{k+2}} 1\ d \lambda (x_{r+1}, \dots , x_{n + 2}) &= \int_ {B_2} \bigg ( \int_ {B_{k}} 1\ d \lambda (x_{r+1}, \dots , x_n) \bigg ) d \lambda (x_{n+1}, x_{n + 2}) = \int_ {B_2} \pi ^{k/2}\\N- d \lambda (x_{n+1}, x_{n + 2}) \\ &= \pi ^{k/2} \int_0 ^1 \int_0 ^{2 \pi r\a d \varphi dr = \pi ^{k/2} \pi = \pi ^{(k + 1)/2} \end {align*} Todos juntos podemos conocer con Fubini \begin {align*} \operatorname {vol}(A) &= \int_A 1\ d \lambda (x_1, \dots , x_n) = \int_ {A_r} \bigg ( \int_ {B_k} 1\ d \lambda (x_{r+1}, \dots , x_n) \bigg ) d \lambda (x_1, \dots , x_r) \\ &= \int_ {A_r} \pi ^{k/2}\\N- d \lambda (x_1, \dots , x_r) = \pi ^{k/2} \int_ {A_r}1 \ ~ - d \lambda (x_1, \dots , x_r) = \pi ^{k/2} 2^r. \end {align*} Y ese era el resultado que buscábamos.
La versión "física": Denotemos el disco unitario por $D = \{x \in R^2 : x_1^2 + x_2^2 \leq 1\}$ . Entonces $A = [-1,1]^r \times D^{(n - r)/2}$ . Mostrar como arriba que $\operatorname{vol}([-1,1]) = 2$ y $\operatorname{vol}(D) = \pi$ . Entonces tenemos $$\operatorname{vol}(A) = \operatorname{vol}([-1,1]^r \times D^{(n - r)/2}) = \operatorname{vol}([-1,1])^r \operatorname{vol}(D)^{(n - r)/2} = 2^r \pi^{(n - r)/2}.$$ Esta prueba aprovecha el hecho de que se puede escribir $A$ como $A = [-1,1]^r \times D^{(n - r)/2}$ y la relación entre la medida de Lebesgue unidimensional y la medida de Lebesgue multidimensional.
Espero que te sirva de ayuda :)
