Subgrupos de $S_n$ que puede enviar cualquier subconjunto de $[n]$ a cualquier subconjunto de igual tamaño de $[n]$

Question

Este es un repost de una pregunta que intentaba resolver ayer y que fue borrada. La pregunta pedía una caracterización de los subgrupos $G$ de $S_n$ que cuando están dotados de su acción natural sobre $2^{[n]}$ cumplen que si $M$ et $N$ son subconjuntos de igual tamaño de $[n]$ entonces existe una permutación $\varphi$ en $G$ para que $\varphi(M)=N$ .

Para que luego no me preguntes qué he probado:

El grupo es claramente primitivo. Si $n!/|G|=k$ El orden del estabilizador de un subconjunto $S$ de tamaño $m$ es $\frac{(n-m)!(m)!}{k}$ (Esto se debe a que queremos las mismas órbitas que cuando $S_n$ está actuando y utilizamos el teorema del estabilizador orbital)

Answer 1

Existe un viejo resultado de Jordan según el cual un subgrupo transitivo de $S_n$ que contiene un elemento de orden primo $p$ con $n/2 < p < n-2$ es igual a $A_n$ o $S_n$ . Esto se aplica a los grupos que satisfacen su hipótesis siempre que exista tal primo, lo que es cierto para $n \ge 8$ .