Dificultad para entender paso en Kac ' s prueba de Teorema de Feynman-Kac

Question

Estoy tratando de entender una prueba de la Feynman-Kac Teorema, como se establece en el Mark Kac 1949 papel 'En la distribución de Ciertos Wiener Funcionales'.

Kac define una serie de independientes e idénticamente distribuidas, discretas variables aleatorias $\left( X_i\right)_{i\in\mathbb N}$, cada uno de los cuales tiene un valor de 1 o $-1$, con igual probabilidad.

En la página 6 se hace la siguiente declaración, sin proporcionar ningún tipo de justificación:

$$\mathbb{P}\left\{\sum_{i=1}^k X_i=m\right\}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{-im\xi}\cos^k\xi\ d\xi$$

para cualquier $m\in\mathbb Z$.

Estoy totalmente perplejo en cuanto a cómo esta fórmula está justificada. La mano izquierda debe ser bastante simple, si mis cálculos son correctos, es igual a $$\mathbb{P}\left\{2M_k^{0.5}-k=m\right\}$$ donde $M_k^p$ es una variable aleatoria binomial, que es el resultado de $k$ ensayos con probabilidad de éxito $p$.

La integral de la derecha parece que va a tener un complejo resultado, y por lo tanto no será igual que la de la izquierda. Los números complejos e integrales han jugado ningún papel en el papel hasta que punto, por lo que su repentina introducción es una completa sorpresa.

También, mientras yo no podía integrar la expresión, Wolfram Alpha dice que la integral indefinida es (en sustitución de $\xi$$x$):

$$i\frac{2^{-k} e^{-ix}+e^{ix})(1+e^{2ix})^{-k}e^{-imx}{}_2F_1(-k,-\frac k2-\frac m2;-\frac k2-\frac m2+1;-e^{-2ix})}{k+m} $$

donde el ${}_2F_1$ elemento es la función hipergeométrica.

Para $x=0$ esto es

$$i\frac{2^{-k}\cdot 2^k\cdot2^{-k}\cdot 1\cdot {}_2F_1(-k,-\frac k2-\frac m2;-\frac k2-\frac m2+1;-1)}{k+m} $$, que es $$i\frac{2^{-k}\cdot {}_2F_1(-k,-\frac k2-\frac m2;-\frac k2-\frac m2+1;-1)}{k+m} $$, que es $$i\cdot\frac{2^{-k}}b\cdot {}_2F_1(-k,-b, 1-b;-1) $$where $b\equiv (k+m)/2$.

El mismo valor se deben obtener para $x=2\pi$, por lo que a mí me parece que, sobre esta base, el de la integral definida, debe ser igual a cero.

Estoy atrapado en una situación en la que no sólo puedo ver ni la motivación ni justificación para Kac la introducción de la fórmula en el lado derecho, pero en mi (muy posiblemente defectuoso), los cálculos, que paso parece conducir a un resultado imposible.

Estaría muy agradecido a cualquiera que me puede ayudar a entender esto.

Muchas gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que la función característica de la suma de las variables aleatorias se describe es:

$$(\frac{1}{2}e^{-it}+\frac{1}{2}e^{it})^k=\cosh^k(it)=\cos^k(t)$$

ya que es la suma de $k$ variables aleatorias independientes, cada una de las cuales tiene la característica de la función $\frac{1}{2}e^{-it}+\frac{1}{2}e^{it}$ (el uso de la convolución de la fórmula).

Entonces él sólo se utiliza una de las características de la función de inversión de las fórmulas (véase, por ejemplo: https://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)#Inversion_formulas) para obtener la función de masa de probabilidad de regreso de la función característica.

EDIT: Esta pregunta parece dar mejor cuenta de la utilización de la inversión de la fórmula para este caso específico (discretas variables aleatorias): la Recuperación de pmf de la función característica

EDIT: Una explicación de por qué los límites se $[0, 2\pi]$ se puede encontrar aquí, Teorema 3.8 (tomar d=1 y, a continuación, tenga en cuenta que la integración de más de $[-\pi, \pi]$ debe dar el mismo resultado como $[0,2\pi]$ debido a la periodicidad de las y coseno exponencial imaginaria). http://www.math.uchicago.edu/~mayo/VIGRE/VIGRE2011/REUPapers/Colina.pdf

También buscar en cualquier lugar para la "función característica de paseo aleatorio". Yo creo que hay debates de la utilización de funciones características para calcular y estimar las probabilidades en tanto Durrett y Talador de la teoría de la probabilidad libros de texto. Spitzer clásico tratado sobre el paseo aleatorio casi seguro que se analiza. Características de las funciones que nos dan una manera más fácil de demostrar que la caminata aleatoria en cualquier dimensión mayor o igual que 3 no es recurrente, además de que nos permite calcular las probabilidades asociadas con el paseo aleatorio, como se está haciendo en Kac del papel.